dm sur la dérivation et les limites

[invite92d5312d]

bonjour, j'ai la un dm qui me pose beaucoup de problème, si quelq'un pouvait m'aider a comprendre ce serait vraiment chouette .

Voila soit f(x)= x√x - 3/16x², la fonction définie sur [0; + linfini[
C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i, j )
1. Préciser les ensembles de définition et de dérivabilité de f

f existe si x >= 0 , Df = R+ et f est dérivable sur R+*

2. Limite de f en +linfini

on a f(x) = x²( (x√x)/x² - 3/16) = x²( 1/√x - 3/16)
lim x² en + linfini = + linfini
lim (1/√x-3/16) en + linfini = -3/16

d ou lim f(x) en + linfini = - linifini

3. Calculer f'(x) puis déterminer son signe sur ]0; + linfini[

chez moi f'(x) = 3x/(2√x) - 3/8x

je trouve que ca s'annule en 0 et 16, or ce n'est pas dérivable en 0, donc ]o ; 16['est positif et ] 16, + linfini[ c est négatif

ensuite je bloque ....

4. Montrer que f est dérivable en 0, que vaut f'(0) ? Faire une interprétation graphique de ce résultat.
5. En déduire que f admet un maximum sur [o; + linfini[ Péciser le maximum et en quel(s) réel(s) il est atteint .


6. Déterminer une équation de la tangente a C au point d'abscisse 4

La j'ai y = 3/2x -1

7. Etudier les positions relatives de cette tangente avec la courbe C

Je sais qu'on doit faire f(x) -3/2 x +1 et étudier le signe mais ca ne me mène a rien ... donc je sais pas quoi faire

8. Etudier le signe de f(x) sur [0; + linfini[


Pour nous aider notre prof a rajouter ceci :

u(x) = f(x) -(ax+b)
1. Calculer u'(x) et u''(x)
ou poser X = √x et déterminer a, b et c tels que u(X) = (X-2)² ( aX²+bX=c)

Mais ca ne m'aide pas beaucoup car je ne vois même pas ou l'utiliser!

merci de m'aider
-----

[cedbont]

Bonjour,
pour la 4) tu dois faire la limite de (f(x)-f(0))/x et si ça tend vers quelque chose de fini alors f est dérivable en 0.
Tu peux faire la suite.

[invite92d5312d]

bah j ai essayé deja, ca me fait (x√x -3/16x²)/x soit √x -3/16x, ce qui en 0 tendrait vers 0, mais après ils demandent f'(0), or pour trouver on doit donc remplacer par 0 et c 'est pas possible car 2√x qui est au dénominateur doit etre différent de 0 ?! et ca n'aurait pas de lien avec la question d apres non

[cedbont]

Bien, on a f(x) = x*sqrt(x) - 3*x^2/16 = x^(3/2) - 3*x^2/16

D'où : f'(x) = 3*x^(1/2)/2 - 3*x/8 qui tend bien vers 0 lorsque x tend ves 0 (ici pas de problème de dénominateur).

D'autre part limit( (f(x)-f(0))/x , x = 0 ) = 0 qui est fini (ceci est aussi égal à f'(0)).

Donc f est dérivable en 0 et on a bien f'(0) = 0

[A voir en vidéo sur Futura]