calcul d'integrale de sqrt(sinx+1)

[invite5a9a6b90]

bonjour,
quelqu'un pourrait il m'aider à calculer cette intégrale :
int(sqrt(1+sin(x)), x=0..Pi); (notation maple ce qui veut dire integrale de 0 à Pi de racine carrée(sinx+1))
La seul indice que mon prof m'a donné c'estt d'opérer un changement de variable en posant u=sinx.
voilà ce que ça donne je pose u=sinx donc du=cosx dx donc dx=du/cosx;
ensuite j'obtiens intégrale de 0 à 0 de racine carrée(u+1)/cosx du et à partir de la je suis bloqué, je ne vois plus du tout ce qu'il faut faire, je ne comprends pas pourquoi posé u=sinx sachant qu'il n'est pas bijective sur l'intervalle [0,Pi] car d'après mes recherches sur le net, la variable posé doit être bijective sur l'intervalle étudié
voila en espérant une aide rapide .
merci d'avance.
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[invite705d0470]

Hum ... En effet à partir de la, tu ne pourras trouver rien d'autre que 0 qui est pourtant faux !
Je pense que pour éviter ce genre de problème, on doit se ramener sur un intervalle d'étude plus sympathique (sur lequel sin est bijective par exemple ^^): ici, faire Chasles pour segmenter en deux l'intervalles me semble marcher assez bien

[invite705d0470]

Bon, je ne peux pas écrire en Latex (quel dommage, j'adore ça ^^) mais je vais proposer quelque chose.
Tu ne peux clairement pas laisser du x après ton changement de variable, cela n'a plus de sens. Or on peut toujours lier sinus et cosinus par leur carré: on a notamment |cos|=sqrt(1-sin^2) ce qui te permet, puisque u=sin(x), de trouver une expression ne dépendant que de u.
La, se placer sur [0,π/2] et [π/2,π] apparaît assez nature (ça l'était aussi avant, par périodicité/parite du sinus).
Puisque la valeur absolue s'enlève (avec un - dans le second intervalle).
En scindant par Chasles, donc, puis en appliquant le changement de variable on a I qui devient 2 x une intégrale de 1/(sqrt(1-u)).
Et on intègre facilement en [-4sqrt(1-x)]. En gros, on obtient 4.

Par contre, je n'ai pas précisé un certain nombre de points. En particulier les bornes de l'intégrale me posent un problème car la fonction obtenue en u n'est pas continue en 1 ! Pour remédier à ce problème, peut être faut il l'étudier avec un x entre 0 et 1 strictement, afin d'obtenir une primitive. Or, la fonction de depart étant bien continue en 1, la primitive l'est aussi i.e admet une limite lorsque x tend vers 1 (et ce malgré un chat de variable problématique). Par continuité, on prolonge l'intégrale modifiée, et le calcul peut se poursuivre.

J'espère que ce raisonnement est correct,

Snowey

[Médiat]

Bon, je ne peux pas écrire en Latex (quel dommage, j'adore ça ^^)

Il n'y a pas (beaucoup) de problème(s) à utiliser Latex sur ce forum, par exemple : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Oui, mais je ne pouvais quand même pas (l'ordi que j'utilise est très susceptible) :/ mais je m'en excuse, car je sais bien que cela devient vite indigeste ...

PS: que pensez vous de l'exercice

[Médiat]

PS: que pensez vous de l'exercice

Je ne vois pas quel problème de continuité vous pose la fonction pour u = 1

[PA5CAL]

Bonjour

Il suffit de remarquer que :




Par ailleurs :




Par conséquent :

 Cliquez pour afficher

[invite705d0470]

La racine de 1-u est au dénominateur, or si u=1 ...

[Médiat]

Ce n'est donc pas un problème de continuité .

[invite705d0470]

Mais de définition ?

Comment bien justifier le calcul que j'ai fait dans ce cas ? (s'il vous plaît )

[PA5CAL]

Comment bien justifier le calcul que j'ai fait dans ce cas ? (s'il vous plaît )

Tu peux commencer à dire que √(1+sin(x)) est bornées sur [0,π], puis scinder ton intégrale en deux parties (x<π/2 et x>π/2) en disant que ton résultat (s'il existe) est bien égal à leur somme.

Ensuite tu fais ton changement de variable, et tu justifie ton calcul par le fait que les deux intégrales sont bien convergentes.

[invite5a9a6b90]

merci snowey pour ta réponse détaillée mais je ne comprends plus ta démarche à partir de : "En scindant par Chasles, donc, puis en appliquant le changement de variable on a I qui devient 2 x une intégrale de 1/(sqrt(1-u))."

[invite14e30298]

bonjour ,

j'ai une idée plus simple à te proposer

si tu pose u=sinx alors on a bien du=cosxdx mais il faut de rappeler que cox=
avec =(1+u)(1-u)
donc le terme à l'intérieur de l'intégrale devient :
(1+u) du
soit à intégrer entre 0 (borne inf) et -1 (borne sup)

[invite705d0470]

Hum ...

Maxwellfiltre, en fait j'ai exactement fait la même chose, sauf que :
si , et sinon
, si .
Du coup on veut utiliser la relation de Chasles (pour goldengear, je l'écris ) pour avoir une forme , donc une intégrale du type (en inversant les bornes de la seconde intégrale, le moins s'en va) .

Sauf qu'en 1, la fonction à l'intérieur n'est pas définie, ce qui me posait un problème !
Mais en suivant les indications de Pascal, je regarde , avec x entre 0 et 1 strictement.
On trouve alors une primitive (qui s'annule en 0) de la forme .
Sachant que l'intégrale de départ est parfaitement définie, celle après changement de variable doit aussi l'être.

Tu peux commencer à dire que √(1+sin(x)) est bornées sur [0,π], puis scinder ton intégrale en deux parties (x<π/2 et x>π/2) en disant que ton résultat (s'il existe) est bien égal à leur somme.

Ensuite tu fais ton changement de variable, et tu justifie ton calcul par le fait que les deux intégrales sont bien convergentes.

.
Ce qui permet d'écrire (à confirmer) que.

Amicalement, Snowey.

[invite14e30298]

Hum ...

Maxwellfiltre, en fait j'ai exactement fait la même chose, sauf que :
si , et sinon
, si .

oui je suis allé un peu trop vite....du coup c'est implacable : source d'ERREUR !!

[invite5a9a6b90]

ok merci
je comprends un peu mieux mais c'était vraiment pas évident à trouver

[PA5CAL]

Il me semble que la solution donnée au #7, qui découle d'une identité remarquable (1+cos(2a)=2cos²a), était plus simple à trouver.

[invite705d0470]

J'avoue que je n'aurais pas pensé à votre méthode, qui pourtant marche très bien ici. Je suppose que tout est question de point de vue: sachant que votre méthode marche, elle est plus élégante ...

PS: j'en profite pour corriger une erreur de copie: la primitive contient un sinus et non pas un x.