Etude de fonctions et développement limité

[bidou8610]

Bonjour,

j'ai comme exercice d'étudier la fonction suivante : f(x) = x * exp(2x/(x²-1)).
Le domaine de définition est donc de -inf à +inf.
J'ai donc utilisé un développement limité, j'ai donc f(x) = x +(2x²/(x²-1))
J'ai trouvé comme dérivée f'(x) = - (4x)/((x²-1)²)
J'ai ensuite trouvé que la dérivée est positive quand x < 0, sachant que quand x = 1 le résultat est impossible.

Comment calculer les limites en +inf et -inf?
Je n'arrive pas à enlever indétermination .

Merci d'avance pour vos réponses!
-----

[invite7ec123bc]

Salut,


Je ne suis pas d'accord avec le domaine de définition que tu donnes. En effet n'est pas définie en et en .


En et , tu as quantité qui tend vers si , et vers si x tend vers .

Bon courage.

[gg0]

Bonsoir Bidou8610

J'ai donc utilisé un développement limité, j'ai donc f(x) = x +(2x²/(x²-1))

C'est complétement faux !!!
Si tu utilises un développement limité, il faut savoir au voisinage de quel nombre tu le détermines. Et ne pas écrire une égalité complétement fausse (vérifie à la calculette pour x= 5). Dans les DL il y a toujours un terme complémentaire (un o(..)) qui n'est négligeable qu'à la limite (en le nombre par rapport auquel on développe).

Tu devrais revoir les cours sur les limites et DL.

Quant à ta fonction, elle s'étudie directement.

Cordialement.

[bidou8610]

Bonsoir,

au voisinage de zéro, le DL de exp(x) est bien 1+x, si on "s’arrête " à cet ordre la ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[bidou8610]

De même, je dois étudier cette fonction :

f(x)=1 / RACINE² (2 * (cos (x) - cos (a))) définie sur (-a , a) avec a compris entre 0 et PI

mais je ne sais pas par ou commencer pour simplifier la fonction (DL?))

[gg0]

Bidou8610,

"au voisinage de zéro, le DL de exp(x) est bien 1+x, si on "s’arrête " à cet ordre la ?? " Non !

A l'ordre 1, le développement limité de est , ou, si tu préfères :
où

Donc, en dehors du voisinage proche de 0, le est une fonction qui peut prendre de grandes valeurs, même par rapport à 1+x. Par exemple pour x=10, 1+x vaut 11 et .
Un DL ne simplifie pas une fonction, il la remplace par une autre, dans un contexte où ça n'a pas d'importance : Calcul de limite, approximant, ..

Donc il te faut étudier la fonction qu'on te donne, pas la remplacer par une autre. Mets toi au travail !

Cordialement.