propriété de l'espérance conditionnelle

[invite3c7e5111]

bonjour il y a une propriété que j'arrive pas à comprendre :
Si X est sigma(y)-mesurable alors E(X/Y) = X

qu'est ce que l'on entend par cette propriété ? car sigma est une tribu sur oméga qui rend mesurable X, et pourquoi l'espérance de X sachant que Y est réalisé est égale à une variable aléatoire ?
merci
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[gg0]

Bonsoir.

Attention, E(X/Y) n'est pas " l'espérance de X sachant que Y est réalisé", qui serait éventuellement E(X/Y=y₀). E(X/Y) est l'espérance de X connaissant Y, qui est justement une variable aléatoire. Il serait bon de revenir à la définition pour bien le comprendre.

Cordialement.

NB : Je ne domine pas vraiment cette notion, mais l'idée est que connaître Y est global (Y peut prendre différentes valeurs, on ne sait pas laquelle est prise) alors que savoir la valeur de Y "localise" la situation. Si Y est "simple", il y a un lien entre les deux, assez évident : Si Z=E(X/Y), alors Z(y₀)=E(X/Y=y₀). Notation non conventionnelle.