Limite, dérivabilité

[invite856a0e25]

Bonsoir,

Je suis actuellement en train de m'exercer en vue d'oraux de mathématiques mais un exercice me pose quelque problèmes.
En voici son énoncé :


Soit f une fonction de [a,b] dans R, continue sur [a,b]. On suppose que f est dérivable sur ]a,b[,
sauf peut-être en un point de ]a,b[.
1. Démontrez que si la fonction f' admet une limite en , alors la fonction f est dérivable en et .

2. Démontrez que la réciproque de la propriété de la question 1 est fausse.
Indication : on pourra considérer la fonction g dénie par : g(x) = x²Sin(1/x) si x est différent de 0 et g(x)=0 si x=0.



La question 2. ne me pose pas de problème, j'ai su la faire. La question 1., en revanche, me semble un peu plus délicate. Je ne vois pas vraiment comment l'aborder.
C'est pourquoi je viens solliciter votre aide, espérant ainsi obtenir un petit coup de pouce.


D'avance merci,



Mezame.
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[invite03f2c9c5]

Bonjour, pensez au théorème des accroissements finis.

[invite705d0470]

On appelle parfois ce resultat le prolongement C1

PS: si vous cherchez encore, vous pouvez jeter un œil à la discussion "Limite et derivabilite" du 22/04/2012.
Mais de toute façon il y aura toujours quelqu'un ici pour vous aider ^^ (euh, pas moi bien sur :P)

Bonne nuit !

[invite856a0e25]

Bonjour,

Merci pour votre aide.
J'ai bien une idée quant à l'utilisation de ce théorème, mais je n'en suis absolument pas sur. L'idée serait de passer par le taux d'accroissement de la fonction f, et, pour se faire, de se restreindre à l'i intervalle [x0,x] où x appartient à [a,b] afin de pouvoir utiliser le théorème des accroissements finis sur ledit intervalle ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite856a0e25]

Et merci également à vous Snowey, dont je n'avais pas vu la réponse avant de poster mon précédent message.

[invite03f2c9c5]

Bonjour,

Merci pour votre aide.
J'ai bien une idée quant à l'utilisation de ce théorème, mais je n'en suis absolument pas sur. L'idée serait de passer par le taux d'accroissement de la fonction f, et, pour se faire, de se restreindre à l'i intervalle [x0,x] où x appartient à [a,b] afin de pouvoir utiliser le théorème des accroissements finis sur ledit intervalle ?

Oui, c’est l’idée. Pour faire ça proprement, on peut séparer l’étude des limites à gauche et à droite. Notons . Pour quelconque, d'après le théorème des accroissements finis, il existe tel que . Maintenant, lorsque tend vers par valeurs inférieures, on a aussi qui tend vers , et ainsi la limite à gauche du rapport est .

Même chose pour la limite à droite (j’ai séparé les deux cas juste pour pouvoir écrire l'intervalle ou ).

[invite856a0e25]

Merci beaucoup pour votre aide !
Il fallait donc bien faire apparaître un taux d'accroissement à l'aide du théorème des accroissements finis... En revanche, excusez-moi si ma question n'est pas pertinente, mais pourriez-vous, s'il-vous-plaît, m'expliquer pourquoi tend vers lorsque tend vers ? Il ne me semble pas avoir déjà rencontré un tel résultat et celui-ci ne me semble pas vraiment évident...


Encore merci pour votre aide.


Mezame.

[gg0]

Cordialement

[invite856a0e25]

J'entends bien, mais c étant fonction de x, rien ne me dit que si x tend vers x0,a lors c(x) tendra également vers x0, si ?
c ne peut pas être une fonction décroissante de x, par exemple ?

[gg0]

Tu n'as pas réfléchi à ma réponse. Où se trouve c(x) quand x est tout près de x₀ ?

[invite856a0e25]

Ah effectivement, je n'avais même pas songer au fait que l'intervalle considéré variait lorsque x variait... c(x) se retrouve donc dans un intervalle réduite à x0 lorsque x tend vers x0.
Milles excuse et merci pour votre aide et votre patience.


Mezame.

[invite03f2c9c5]

C’est le fameux théorème « des gendarmes »…