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Limite et dérivabilité



  1. #1
    tripeuz

    Red face Limite et dérivabilité

    Bonjour à tous

    J'ai à nouveau un soucis dans un exercice ccp ..
    On a une fonction g définies sur [a,b] à valeurs réelles. g est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ sauf en xo où l'on n'a pas d'information (xo appartient à ]a,b[) .

    Comment prouver que : si g'admet une limite en xo alors g est dérivable en xo et g'(xo)=lim g'(x) quand x->xo ?
    J'essaye d'écrire la définition de g'(xo) comme taux d'accroissement mais ça n'amène pas très loin..


    Et si on considère une fonction non définie en 0 mais prolongée par continuité en 0. Comment calculer sa dérivée en 0 et prouver sa dérivabilité en 0 ? par le taux d'accroissement ?

    Merci d'avance de votre aide

    -----


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  3. #2
    Snowey

    Re : Limite et dérivabilité

    C'est une bonne idée de penser à la définition, et il faut continuer dans cet esprit: quel(s) résultat(s) lie(nt) dérivée et taux d'accroissement ?


    Par exemple l'égalité des accroissements finis
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  4. #3
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    Merci de votre réponse .
    Je ne vois pas comment prouver que f est dérivable en xo avec l'égalité des accroissements finis ..
    Il existe un c mais je ne vois pas comment l'utiliser ..
    Et compte tenu que f n'est a priori pas dérivable en xo, on se place sur [a,xo[ ?

  5. #4
    serge1729

    Re : Limite et dérivabilité

    Bonsoir,

    tu peux appeler l la limite puis appliquer l'inégalité très puissante des accroissements finis à la fonction h donnée par h(x) = g(x) -g(x0) -l*(x-x0) après avoir fixé un epsilon.

  6. #5
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    g' est bornée car g dérivable c'est ça ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    En appliquant l'inégalité sur [x,xo] avec a>x>xo :

    On a donc |h(x)-h(xo)|<|x-xo| sup|g'(x)-l|
    Donc le taux d'accroissement est inférieur à sup|g'(x)-l| mais le sup tend-il vers 0 quand x tend vers xo?

    Si oui : on aurait alors le taux d'accroissement de h qui admet une limite finie donc h dérivable en xo.

    Comment montrer ensuite que g'(xo)=lim g'(x) quand x tend vers xo ?
    h'(xo)=g'(xo)-l mais ensuite ...?

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  10. #7
    serge1729

    Re : Limite et dérivabilité

    g' ne sera pas bornée en général.Bon je me lance: soit s >0, il existe w>0 tel que si 0 < l x -x0l < w alors l g(x) - l l < s donc l h'(x) l < s donc l h(x) - h(x0) l < s* l x-x0 l si x € ]x0, x0 +w[ car g doit être supposée continue en x0; même chose à gauche

  11. #8
    Snowey

    Re : Limite et dérivabilité

    Ou alors, sans poser d'autre fonction, voilà une idée (dans ma suite bien sur ^^): soit x dans l'intervalle considere (sans x0).
    Appliquez (je vouvoie dans le doute ^^) l'égalité des accroissement finis sur l'intervalle [x,x0] ou [x0,x]: il existe c, dépendant de x car il est dans le premier intervalle (i.e |c-x0|<|x-x0|) tel que f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0).
    On ne sait rien sur c, excepté que si x tend vers x0, alors il tend vers 0 (c'est rigoureux)
    Et sachant que cela est vrai pour tout x on peut "passer à la limite" (par hypothèses, f' converge bien): on obtient la limite du taux d'accroissement (valeur et existence donc).

    Dernière modification par Snowey ; 22/04/2012 à 20h49.
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  12. #9
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    Merci.
    Le début est la définition de la limite non?

  13. #10
    serge1729

    Re : Limite et dérivabilité

    oui car par hypothèse on a lim g'(x) = l

  14. #11
    Snowey

    Re : Limite et dérivabilité

    Enfin c tend plutôt vers x0, bien sur !
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  15. #12
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    Citation Envoyé par Snowey Voir le message
    On ne sait rien sur c, excepté que si x tend vers x0, alors il tend vers xo (c'est rigoureux)
    Et sachant que cela est vrai pour tout x on peut "passer à la limite" (par hypothèses, f' converge bien): on obtient la limite du taux d'accroissement (valeur et existence donc).
    Juste un petit point que je n'ai pas saisi : lim (f(x)-f(xo))/(x-xo) vaut lim f'(x) quand x tend vers xo ? ou f'(x) tend vers lim f'(x) quand x tend vers xo ?

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  17. #13
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    Citation Envoyé par serge1729 Voir le message
    oui car par hypothèse on a lim g'(x) = l
    mais alors où utilise-t-on l'inégalité des accroissements finis ?
    Pour moi on n'utilise que la définition de la limite .. non ?

  18. #14
    serge1729

    Re : Limite et dérivabilité

    juste un mot sur la différence fondamentale entre égalité et inégalité pour les accroissements finis: l 'égalité semble certes plus puissante mais elle découle du théorème de Rolle qui n'est valable que pour les fonctions à valeurs réelles mais devient faux en général pour les fonctions à valeurs dans C ,alors que l'inégalité est valable dans tous les cas, même dans les espaces vectoriels normés de dimension finie ou non.

  19. #15
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    Merci Serge1729 pour cette précision (que je n'avais jamais remarqué ...)

    D'autre part, je n'ai pas compris le passage dans votre explication :
    |h'(x)| < s, ça c'est bon
    Mais ensuite est-ce là que vous utilisez l'inégalité des accroissements finis ?

    Car on a alors : |h(x)-h(xo)|/|x-xo|< sup|h'(t)| non?


    (j'essaye de comprendre les deux explications que vous proposez : ça peut toujours être utile ce genre de raisonnement =) )

  20. #16
    serge1729

    Re : Limite et dérivabilité

    comme i h'(x) l < s l 'inégalité des acc finis dit que l h(x) - h(x0) l < s* l x-x0 l

  21. #17
    serge1729

    Re : Limite et dérivabilité

    plus généralement ( même si l ' on peut encore affaiblir considérablement les hypothèses) si f et g sont dérivable sur un intervalle J et si pour x dans J on a :

    ll f'(x) ll < g'(x) ( donc g'(x) est positif ) g est à valeurs réelles et f est à valeurs dans C ou dans un espace vectoriel normé

    alors pour tout a,b € J on a ll f(b) - f(a) ll < l g(b) - g(a) l

  22. #18
    Snowey

    Re : Limite et dérivabilité

    C'est vrai qu'une discussion croisée, c'est pas vraiment évident
    Je n'ai pas très bien saisi la question du lim f'(x) tend vers ... ?
    Lorsqu'on écrit le taux d'accroissement c'est pour montrer l'existence de f'(x0), la dérivée de f en ce point.
    Cela ne signifie pas, a priori, que f' admette une limite en ce point (c'est la subtilité avec la continuité de la dérivée: prenez x^2.sin(1/x) prolongée par continuité en 0, qui est dérivable, de dérivée non continue en 0).

    Mais ici, c'est une hypothèse, donc on peut s'en servir pour conclure que f'(c) tend vers l=lim f'.
    Avec l'égalité, on montre alors que le taux d'accroissement tend aussi vers cette limite l.
    On a donc d'une part l'existence de sa limite, et d'autre part f'(x0)=l
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

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  24. #19
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    Citation Envoyé par serge1729 Voir le message
    comme i h'(x) l < s l 'inégalité des acc finis dit que l h(x) - h(x0) l < s* l x-x0 l
    Mais oui !

    En tout cas merci beaucoup de tous les compléments que vous proposez à chaque fois, c'est très utile

  25. #20
    serge1729

    Re : Limite et dérivabilité

    donc sup l h'(x) l <= s donc ça marche

  26. #21
    tripeuz

    Re : Limite et dérivabilité

    Citation Envoyé par Snowey Voir le message
    Mais ici, c'est une hypothèse, donc on peut s'en servir pour conclure que f'(c) tend vers l=lim f'.
    Avec l'égalité, on montre alors que le taux d'accroissement tend aussi vers cette limite l.
    On a donc d'une part l'existence de sa limite, et d'autre part f'(x0)=l
    L'exemple que vous proposez est justement la question suivante

    Voilà je n'avais pas compris que f'(c) tend vers lim f'(x) quand x tend vers xo, je croyais que f'(c) tendait vers f'(xo) donc je n'aboutissais pas ..

    Merci beaucoup également =)

  27. #22
    Snowey

    Re : Limite et dérivabilité

    Pour Serge: ne serait-ce pas une extension d'une règle de l'hôpital (de mémoire, l'existence d'un réel c tel que g(c)( f(b)-f(a))= f(c) (g(b)-g(a)) ) ?
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  28. #23
    serge1729

    Re : Limite et dérivabilité

    Bonjour ,
    En fait pas totalement en effet comme je l'ai écrit à Tripeuz, j 'ai utilisé l'inégalité des acc finis, or la preuve classique de la règle de l hôpital utilise l'égalité des acc finis puisque l 'on parle de l existence d'un réel c qui découle de Rolle .

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