Cardinal d'ensembles infinis
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Cardinal d'ensembles infinis



  1. #1
    invite10421055

    Question Cardinal d'ensembles infinis


    ------

    Bonsoir j'ai cru comprendre

    qu'on pouvait établir qu'un ensemble infini pouvait avoir un cardinal supérieur à un autre infini.

    Question naïve :

    Y-a-t-il un sens ou une utilité à établir une hiérarchie entre deux ensembles tous 2 infinis ?
    Comment peut-on comparer 2 infinis ?

    Cordialement

    -----

  2. #2
    Tryss

    Re : Cardinal d'ensembles infinis

    Ça a un sens :

    On peut définir que si il existe une surjection de A dans B.

    On peut montrer qu'un ensemble n'est jamais en bijection avec l'ensemble de ses parties (th de Cantor), donc il n'y a pas toujours égalité : la notion a bien un sens (elle n'est pas vide)

  3. #3
    Weensie

    Re : Cardinal d'ensembles infinis

    Ta question est fondamentale.

    Oui, on peut comparer des cardinaux infinis.

    Par exemple: Le plus petit cardinal infini est celui du dénombrable, c'est à dire le cardinal des ensembles en bijection avec , que l'on note
    Le cardinal de , qui est en bijection avec l'ensemble des parties de , est appelé cardinal du continu et est noté , avec .
    L'Hypothèse du continu de Cantor est un problème très profond qui consiste à affirmer qu'il n'existe pas d'ensemble de cardinal strictement compris entre les deux (Paul Cohen a même démontré que la question était indécidable dans le cadre des axiomes ZF)
    .

  4. #4
    Weensie

    Re : Cardinal d'ensembles infinis

    Mais de manière générale, puisque Card(P(E))=2^(Card(E)) > Card(E), on peut former une suite infinie d'alephs (Card(P(P(....P(N))=>........C ard(P(N))
    .

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Médiat

    Re : Cardinal d'ensembles infinis

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Weensie Voir le message
    Le cardinal de , qui est en bijection avec l'ensemble des parties de , est appelé cardinal du continu et est noté , avec .
    Ceci n'est pas exact, le cardinal de , est , qui n'est égal à qu'avec l'hypothèse du continu.

    Citation Envoyé par Weensie Voir le message
    L'Hypothèse du continu de Cantor est un problème très profond qui consiste à affirmer qu'il n'existe pas d'ensemble de cardinal strictement compris entre les deux (Paul Cohen a même démontré que la question était indécidable dans le cadre des axiomes ZF)
    Quelques précisions, la démonstration est due à Gödel et à Cohen (chacun a démontré une moitié à plus de 30 ans d'intervalle).
    De plus le cadre ici est ZFC et non ZF.
    Dernière modification par Médiat ; 11/06/2012 à 12h54.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. #6
    Médiat

    Re : Cardinal d'ensembles infinis

    Citation Envoyé par Weensie Voir le message
    Mais de manière générale, puisque Card(P(E))=2^(Card(E)) > Card(E), on peut former une suite infinie d'alephs (Card(P(P(....P(N))=>........C ard(P(N))
    Sauf que cette suite est celle des beth et non des aleph.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #7
    Weensie

    Re : Cardinal d'ensembles infinis

    Bêtement, je pensais que les aleph désignaient non pas la suite des cardinaux, mais la suite des cardinaux de P(...(P(N)).
    D'où m'on erreur. Merci médiat!
    .

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