Cardinal d'ensembles infinis

[invitea4732f50]

Bonsoir j'ai cru comprendre

qu'on pouvait établir qu'un ensemble infini pouvait avoir un cardinal supérieur à un autre infini.

Question naïve :

Y-a-t-il un sens ou une utilité à établir une hiérarchie entre deux ensembles tous 2 infinis ?
Comment peut-on comparer 2 infinis ?

Cordialement
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[inviteea028771]

Ça a un sens :

On peut définir que si il existe une surjection de A dans B.

On peut montrer qu'un ensemble n'est jamais en bijection avec l'ensemble de ses parties (th de Cantor), donc il n'y a pas toujours égalité : la notion a bien un sens (elle n'est pas vide)

[invitec1242683]

Ta question est fondamentale.

Oui, on peut comparer des cardinaux infinis.

Par exemple: Le plus petit cardinal infini est celui du dénombrable, c'est à dire le cardinal des ensembles en bijection avec , que l'on note
Le cardinal de , qui est en bijection avec l'ensemble des parties de , est appelé cardinal du continu et est noté , avec .
L'Hypothèse du continu de Cantor est un problème très profond qui consiste à affirmer qu'il n'existe pas d'ensemble de cardinal strictement compris entre les deux (Paul Cohen a même démontré que la question était indécidable dans le cadre des axiomes ZF)

[invitec1242683]

Mais de manière générale, puisque Card(P(E))=2^(Card(E)) > Card(E), on peut former une suite infinie d'alephs (Card(P(P(....P(N))=>........C ard(P(N))

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Le cardinal de , qui est en bijection avec l'ensemble des parties de , est appelé cardinal du continu et est noté , avec .

Ceci n'est pas exact, le cardinal de , est , qui n'est égal à qu'avec l'hypothèse du continu.

L'Hypothèse du continu de Cantor est un problème très profond qui consiste à affirmer qu'il n'existe pas d'ensemble de cardinal strictement compris entre les deux (Paul Cohen a même démontré que la question était indécidable dans le cadre des axiomes ZF)

Quelques précisions, la démonstration est due à Gödel et à Cohen (chacun a démontré une moitié à plus de 30 ans d'intervalle).
De plus le cadre ici est ZFC et non ZF.

[Médiat]

Mais de manière générale, puisque Card(P(E))=2^(Card(E)) > Card(E), on peut former une suite infinie d'alephs (Card(P(P(....P(N))=>........C ard(P(N))

Sauf que cette suite est celle des beth et non des aleph.

[invitec1242683]

Bêtement, je pensais que les aleph désignaient non pas la suite des cardinaux, mais la suite des cardinaux de P(...(P(N)).
D'où m'on erreur. Merci médiat!