[exo] Récurence term S

[Tmax35]

J'ai un petit proleme sur un exercice de récurrence. Il faut prouvez que pour tout entier naturrel n on a : ( 1 + x )ⁿ "sup ou égal à" 1 + nx

Premier probleme : je croyai que les raisonnnement par recurrence ne se faisaient que sur des suites recurentes.

Je pose mon exercice:

Soit P(n) la propriété : " ( 1 + x )^n sup ou égal 1 + nx "
P(0) est vraie (car 1 "sup ou egal à" 1 )
Supposons que P(k) est vraie
Demontrons alors que P(k+1) est vraie

Puis voila je suis bloqué, je ne sait pas comment je dois commencer mon raisonnement...

Je lance dnc un S.O.S pour qu'une personne puisse me venir en aide, merci
-----

[Gunboy]

et le "x" c'est quoi ????

[Tmax35]

oups, x est un réel quelconque positif...

[Superdumas]

Il s'agit de l'inégalité de Bernouilli (le tout début de la récurrence).
Ton but c'est de ressortir l'hypothèse de récurrence.
Par exemple, tu sais que (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x).
Et puis tu réfléchis un peu .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gunboy]

On a verifié que c'est vrai pour n=0;
Supposons que c'est vrai jusqu'à l'ordre de n;
Demontrons que c'est vrai pour n+1 ( (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x );
==> on a (1+x)^n >= 1+nx
(1+x)^(n+1) = (1+x)*(1+x)^n
(1+x)^(n+1) >= (1+nx)*(1+x)
(1+x)^(n+1) >= 1+x+nx+nx²
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+nx² or nx² > 0 donc P est vraie pour tout n appartenant à R

[Tmax35]

(1+x)^(n+1) = (1+x)*(1+x)^n
(1+x)^(n+1) >= (1+nx)*(1+x)
(1+x)^(n+1) >= 1+x+nx+nx²

Erreur de calcul ... (1+x)^n n'est pas egal a (1+nx) ???

[Tmax35]

(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+nx² or nx² > 0 donc P est vraie pour tout n appartenant à R

si nx² est superieur a 0, justement sa pourrai avoir comme conséquence que l'inégalité change de sens ...

[Gunboy]

Erreur de calcul ... (1+x)^n n'est pas egal a (1+nx) ???

Je crois pas qu'il y a erreur ici

[Gunboy]

si nx² est superieur a 0, justement sa pourrai avoir comme conséquence que l'inégalité change de sens ...

Pour ceci j'ai pas fais attention je vais revoir et te dire demain peut etre

[nissart7831]

Bonsoir,

Erreur de calcul ... (1+x)^n n'est pas egal a (1+nx) ???

Non, non, Gunboy a raison. Il utilise l'hypothèse de récurrence au rang n (pour démontrer au rang n+1 - voir ci-dessous), qui d'ailleurs n'est pas une égalité mais une inégalité, d'où son calcul correct.

On a verifié que c'est vrai pour n=0;
Supposons que c'est vrai jusqu'à l'ordre de n;
Demontrons que c'est vrai pour n+1.

si nx² est superieur a 0, justement sa pourrai avoir comme conséquence que l'inégalité change de sens ...

Non, quand Gunboy fait ce qui est ci-après, il a encore raison.

(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+nx² or nx² > 0 donc P est vraie pour tout n appartenant à R

Car comme nx² >= 0, alors 1+(n+1)x+nx² >= 1 + (n+1)x
Donc (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x ce qui démontre au rang n+1 !!

[Tmax35]

Je crois pas qu'il y a erreur ici

Ba si il y a eu une grosse erreur !!

(1+x)ⁿ = 1 + xⁿ + 2x

et non = (1+ nx)

[Tmax35]

Ba si il y a eu une grosse erreur !!

(1+x)ⁿ = 1 + xⁿ + 2x

et non = (1+ nx)

EDIT : Ne pas faire attention a ce que je viend de dire je n'ai pas lu le message juste avant.dsl.

[nissart7831]

Ba si il y a eu une grosse erreur !!

(1+x)ⁿ = 1 + xⁿ + 2x

C'est complètement faux ta formule. Par exemple,

prends n= 3 et x = 1. D'un côté, ça fait 8 et de l'autre ça fait 4. On est loin de l'égalité !!

Ton erreur vient que tu développe comme quand n=2.
La formule générale pour n quelconque est plus compliquée que cela.

Et une fois de plus, Gunboy n'utilise pas l'égalité mais l'inégalité. Qui est d'ailleurs donnée dans l'enoncé et qui est juste !!
Donc je confirme, toute sa démonstration est juste !!!

Cette formule générale s'appelle la formule du binôme de Newton que tu peux consulter ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...B4me_de_Newton

[Tmax35]

C bon j'ai pigé !!! waou ! Merci beaucoup a tous ceux qui m'ont aidé...jvé essayé de me refaire l'exo tout seul, en esperant que sa ce passe bien ...

a+