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[exo] Récurence term S



  1. #1
    Tmax35

    [exo] Récurence term S


    ------

    J'ai un petit proleme sur un exercice de récurrence. Il faut prouvez que pour tout entier naturrel n on a : ( 1 + x )n "sup ou égal à" 1 + nx

    Premier probleme : je croyai que les raisonnnement par recurrence ne se faisaient que sur des suites recurentes.

    Je pose mon exercice:

    Soit P(n) la propriété : " ( 1 + x )^n sup ou égal 1 + nx "
    P(0) est vraie (car 1 "sup ou egal à" 1 )
    Supposons que P(k) est vraie
    Demontrons alors que P(k+1) est vraie

    Puis voila je suis bloqué, je ne sait pas comment je dois commencer mon raisonnement...

    Je lance dnc un S.O.S pour qu'une personne puisse me venir en aide, merci

    -----
    Je suis fasciné ar l'air. Si on enlevait l'air du ciel, tous les oiseaux tomberaient par terre...

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  3. #2
    Gunboy

    Re : [exo] Récurence term S

    et le "x" c'est quoi ????

  4. #3
    Tmax35

    Re : [exo] Récurence term S

    oups, x est un réel quelconque positif...
    Je suis fasciné ar l'air. Si on enlevait l'air du ciel, tous les oiseaux tomberaient par terre...

  5. #4
    Superdumas

    Re : [exo] Récurence term S

    Il s'agit de l'inégalité de Bernouilli (le tout début de la récurrence).
    Ton but c'est de ressortir l'hypothèse de récurrence.
    Par exemple, tu sais que (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x).
    Et puis tu réfléchis un peu .

  6. #5
    Gunboy

    Re : [exo] Récurence term S

    On a verifié que c'est vrai pour n=0;
    Supposons que c'est vrai jusqu'à l'ordre de n;
    Demontrons que c'est vrai pour n+1 ( (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x );
    ==> on a (1+x)^n >= 1+nx
    (1+x)^(n+1) = (1+x)*(1+x)^n
    (1+x)^(n+1) >= (1+nx)*(1+x)
    (1+x)^(n+1) >= 1+x+nx+nx²
    (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+nx² or nx² > 0 donc P est vraie pour tout n appartenant à R

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Tmax35

    Re : [exo] Récurence term S

    Citation Envoyé par Gunboy
    (1+x)^(n+1) = (1+x)*(1+x)^n
    (1+x)^(n+1) >= (1+nx)*(1+x)
    (1+x)^(n+1) >= 1+x+nx+nx²
    Erreur de calcul ... (1+x)^n n'est pas egal a (1+nx) ???
    Dernière modification par Tmax35 ; 10/12/2005 à 22h30.
    Je suis fasciné ar l'air. Si on enlevait l'air du ciel, tous les oiseaux tomberaient par terre...

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  10. #7
    Tmax35

    Re : [exo] Récurence term S

    Citation Envoyé par Gunboy
    (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+nx² or nx² > 0 donc P est vraie pour tout n appartenant à R

    si nx² est superieur a 0, justement sa pourrai avoir comme conséquence que l'inégalité change de sens ...
    Je suis fasciné ar l'air. Si on enlevait l'air du ciel, tous les oiseaux tomberaient par terre...

  11. #8
    Gunboy

    Re : [exo] Récurence term S

    Citation Envoyé par Tmax35
    Erreur de calcul ... (1+x)^n n'est pas egal a (1+nx) ???
    Je crois pas qu'il y a erreur ici

  12. #9
    Gunboy

    Re : [exo] Récurence term S

    Citation Envoyé par Tmax35
    si nx² est superieur a 0, justement sa pourrai avoir comme conséquence que l'inégalité change de sens ...
    Pour ceci j'ai pas fais attention je vais revoir et te dire demain peut etre

  13. #10
    nissart7831

    Re : [exo] Récurence term S

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par Tmax35
    Erreur de calcul ... (1+x)^n n'est pas egal a (1+nx) ???
    Non, non, Gunboy a raison. Il utilise l'hypothèse de récurrence au rang n (pour démontrer au rang n+1 - voir ci-dessous), qui d'ailleurs n'est pas une égalité mais une inégalité, d'où son calcul correct.
    Citation Envoyé par Gunboy
    On a verifié que c'est vrai pour n=0;
    Supposons que c'est vrai jusqu'à l'ordre de n;
    Demontrons que c'est vrai pour n+1.

    Citation Envoyé par Tmax35
    si nx² est superieur a 0, justement sa pourrai avoir comme conséquence que l'inégalité change de sens ...
    Non, quand Gunboy fait ce qui est ci-après, il a encore raison.
    Citation Envoyé par Gunboy
    (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+nx² or nx² > 0 donc P est vraie pour tout n appartenant à R
    Car comme nx² >= 0, alors 1+(n+1)x+nx² >= 1 + (n+1)x
    Donc (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x ce qui démontre au rang n+1 !!

  14. #11
    Tmax35

    Re : [exo] Récurence term S

    Citation Envoyé par Gunboy
    Je crois pas qu'il y a erreur ici
    Ba si il y a eu une grosse erreur !!

    (1+x)n = 1 + xn + 2x

    et non = (1+ nx)
    Je suis fasciné ar l'air. Si on enlevait l'air du ciel, tous les oiseaux tomberaient par terre...

  15. #12
    Tmax35

    Re : [exo] Récurence term S

    Citation Envoyé par Tmax35
    Ba si il y a eu une grosse erreur !!

    (1+x)n = 1 + xn + 2x

    et non = (1+ nx)
    EDIT : Ne pas faire attention a ce que je viend de dire je n'ai pas lu le message juste avant.dsl.
    Je suis fasciné ar l'air. Si on enlevait l'air du ciel, tous les oiseaux tomberaient par terre...

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  17. #13
    nissart7831

    Re : [exo] Récurence term S

    Citation Envoyé par Tmax35
    Ba si il y a eu une grosse erreur !!

    (1+x)n = 1 + xn + 2x
    C'est complètement faux ta formule. Par exemple,

    prends n= 3 et x = 1. D'un côté, ça fait 8 et de l'autre ça fait 4. On est loin de l'égalité !!

    Ton erreur vient que tu développe comme quand n=2.
    La formule générale pour n quelconque est plus compliquée que cela.

    Et une fois de plus, Gunboy n'utilise pas l'égalité mais l'inégalité. Qui est d'ailleurs donnée dans l'enoncé et qui est juste !!
    Donc je confirme, toute sa démonstration est juste !!!

    Cette formule générale s'appelle la formule du binôme de Newton que tu peux consulter ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...B4me_de_Newton
    Dernière modification par nissart7831 ; 10/12/2005 à 23h04.

  18. #14
    Tmax35

    Re : [exo] Récurence term S

    C bon j'ai pigé !!! waou ! Merci beaucoup a tous ceux qui m'ont aidé...jvé essayé de me refaire l'exo tout seul, en esperant que sa ce passe bien ...

    a+
    Je suis fasciné ar l'air. Si on enlevait l'air du ciel, tous les oiseaux tomberaient par terre...

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