exo TERM S polynome de degré 4

[invite93477bb3]

bonjour à tous !

notre prof de maths nous a donné un exo dont l'objectif est le suivant : "donnez un exmple de fonction polynôme de degré 4 admettant un minimum absolu au point 2"

voici quelle a été ma démarche ::

un minimum est un extremum, alors f'(2)=0 avec chgt de signe, et comme c'est un minimum, f'(x) est <0 avant x=2, et >0 après x=2.

f(x)= ax⁴+bx³+cx²+dx+e

d'où la dérivée

f'(x) = 4ax³+3bx²+2cx+d
soit f'(2)= 32a+12b+4c+d

et comme dit précédemment, on cherche a,b,c,d tels que f'(2)=0. avec f'(x)<0 sur ]-inf;2[ et >0 sur ]2; +inf[

et voilà je suis bloqué à cet endroit. que faire ?

merci d'avance.
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[Médiat]

COmme on te demande un exemple de tel polynôme et non tous je ferais le contraire de toi, et je partirais d'un choix judicieux de la dérivée.

La dérivée d'un polynome de dégré 4 est un polynome de degré 3 et s'il s'annule pour x=2, cela veut dire qu'il se factorise par (x-2), mais pas par (x-2)². Un exemple simple : f'(x) = (x-2)x², mais il faut vérifier la nature de l'extremum pour x = 0, du coup le plus simple pourrait être f'(x) = (x-2)(x²+1) qui ne s'annule qu'une fois, en développant et en se demandant quel polynome de degré 4 peut avoir celui-ci comme dérivée tu auras exhibé un exemple.

[invitea3eb043e]

Il y a manifestement plein de solutions, tu peux donc prendre des coefficients nuls (mais pas a) et tâtonner un peu.
Tu peux aussi faire l'inverse et te donner f'(x) du genre (x-2) (x-p)² où p est ce que tu veux. Cette fonction f' a les propriétés que tu souhaites (évident, non ?).

De là tu déduis f en intégrant. Si tu ne sais pas intégrer, développe f'(x) et cherche les primitives des termes de degrés 3, 2, etc...