Raisonnement par récurrence

[Zabour]

bonjour à tous,
je viens soumettre une question qui m'embête aux matheux lol

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, 2^n strictement supérieur n^2
j'ai fait;

cas initial: n=5 2^5=32 5^2= 25
25<32
Donc on suppose vrai pour 2^n strictement supérieur n^2

il faut alors prouver que 2^(n+1) strictement supérieur à (n+1)^2

OR 2^n*2 n^2+2n+1
2^n strictement supérieur n^2


ET 2 ne peut pas être supérieur à 2n+1, c'est ça qui me bloque.

merci d'avance pour votre aide
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

OR 2^n*2 n^2+2n+1
2^n strictement supérieur n^2

ET 2 ne peut pas être supérieur à 2n+1, c'est ça qui me bloque.

Euh, c'est pas très clair ce que tu écris


Tu dois démontrer que : 2ⁿ⁺¹-(n+1)²>0

Donc tu exprimes la quantité 2ⁿ⁺¹-(n+1)² de manière à utiliser l'hypothèse de récurrence (2ⁿ>n²), puis tu utilises le fait que n>=5 pour conclure.

[matttgic]

Bonjour,
pour démontrer l'hérédité :
(n+1)^2=n^2+n+1
et n^2<2^n
d'ou (n+1)^2<2^n+n+1
et 2^n+n+1<2^(n+1) (se démontre en passant par la fonction auxiliaire f(x)=2^x+x+1-2^(x+1) dont tu étudies les variations : décroissant strictement négative pour x>=5)
D'ou (n+1)^2<2^(n+1).

[PlaneteF]

Bonjour,
pour démontrer l'hérédité :
(n+1)^2=n^2+n+1
et n^2<2^n
d'ou (n+1)^2<2^n+n+1
et 2^n+n+1<2^(n+1) (se démontre en passant par la fonction auxiliaire f(x)=2^x+x+1-2^(x+1) dont tu étudies les variations : décroissant strictement négative pour x>=5)
D'ou (n+1)^2<2^(n+1).

Bonsoir,

C'est beaucoup, beaucoup trop compliqué, notamment l'étude de fonction que tu proposes ...

Il suffit de procéder comme je l'ai indiqué, ... c'est 4 lignes de calcul très, très simples (et pas d'étude de fonction), et c'est terminé

[A voir en vidéo sur Futura]

[matttgic]

Bonsoir,

Pour tout te dire, je n'ai pas effectuer l'étude de la fonction que j'ai posée, et il est vraie qu'elle est plutôt fastidieuse...
Ta méthode est donc effectivement bien plus efficace!

[breukin]

et on sait par hypothèse quelque chose sur .