Développement limité de arccos au voisinage de -1

[Ecthelion]

Bonjour, je souhaiterais donc faire un DL de la fonction arccos(x) au voisinage de -1 et j'ai donc un soucis avec la dérivée qui tend vers l'infini en -1. Je ne suis pas du tout dans les maths mais auriez-vous une solution à ce problème?
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[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai pas très bien compris votre problème.
La valeur de acos(x) pour x = -1 est pi + 2Kpi.
la fonction acos(x) est définie pour x >= -1 et x <= 1.
J'ai le développement en série pour asin(x), si ça peut vous aider,
asin(x) = x/1 + 1/2 x^3/3 + 1*3/2*4 x^5/5 + 1*3*5/2*4*6 x^7/7 + ...

[God's Breath]

On ne peut pas avoir un développement limité, mais un développement asymptotique dans l'échelle des .

En posant (), la dérivée de l'arccosinus se met sous la forme:



Il suffit alors d'utiliser le développement limité de et d'intégrer pour obtenir un développement de au voisinage de .

[phys4]

Cela ne va pas l'aider beaucoup,

La fonction cosinus inverse de la votre, possède un DL en x = pi.
Ce développement n'a pas de terme du premier ordre, évidemment. Il n'est donc pas possible de l'inverser.

Vous pouvez essayer de résoudre votre problème en utilisant directement le DL de cos (pi)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

En raisonnant comme God's Breath vous l'a conseillé, on trouve (sauf erreur de calcul, ici assez probable), un DL de la forme .

Mais la méthode est plus important que le résultat

[Ecthelion]

Bonjour,

Désolé de revenir sur le sujet si tardivement mais j'étais pris sur un autre problème.
Je suis toujours un peu bloqué en fait. phys4, pourquoi dites-vous que la méthode de God's Breath ne m'aidera pas? Car de ce que je comprends, elle permet aussi d'approximer une fonction. En fait, je ne recherche pas nécessairement un DL, juste une bonne approximation.

En fait, cela part d'un problème de physique qui est la finesse d'une cavité Fabry-Perot qui est définie par:



Pour une cavité deux miroirs de réflectivité r avec :

et l'écart entre deux résonances et la largeur d'une résonance à mi hauteur, respectivement.

Or, si je calcule la finesse via , je trouve:



Ce qui devrait être équivalent à l'autre définition après approximation de l'arccos lorsque r est très proche de 1.