Intégrale double

[invite705d0470]

Bonjour

je cherche à calculer l'intégrale double sur la couronne délimitée par les cercles de rayons 1 et 2: .
En passant aux coordonnées cylindriques, celà revient à écrire , mais je bloque un peu sur cette intégrale.

J'ai voulu me ramener à des fractions rationnelles, mais j'ai des doutes quant à l'écriture ^^
Je ne sais donc pas trop comment l'aborder, d'autant que le point de coordonnées est bien dans le domaine initial, et qu'alors l'intégrale n'est plus définie car la fonction est discontinue en ce point ... :/
Problème de définition ?

Merci de votre aide
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[inviteaf1870ed]

Tu as un problème sur la droite y=-x, non ?

[invite705d0470]

En effet, oui :/

[inviteaf1870ed]

En tous cas c'est beurk : http://www.wolframalpha.com/input/?i...Bsin%28x%29%29

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonsoir,

je vais travailler avec l'intégrale en coordonnées polaires : on pourrait faire ce qui suit directement avec l'intégrale de départ
mais ça doit être un tout petit peu plus compliqué.
On a
d'où après un changement de variable, en utilisant la -périodicité de cos et en oubliant les facteurs numériques :

A priori, ce qu'on a fait n'a pas de sens car on n'a pas vérifié que l'intégrale est bien définie.
Supposons pour simplifier qu'on parte de J. n'est pas intégrable au niveau du
point qui pose problème (car 1/x n'est pas intégrable en 0) à savoir .
Mais on peut encore essayer de définir de manière raisonnable, par exemple comme :

Mais : la parenthèse est identiquement nulle ! La limite vaut donc 0.

Conclusion : la définition de l'intégrale n'est pas évidente mais il y a une façon raisonnable de lui donner un sens et de cette façon, on trouve 0.