Intégrale et Pi

[invite14cee04b]

Bonjour,
ce week-end, entre les révisions du bac, je me suis proposé de trouver une approche la plus exacte possible de la vaeur de Pi. Pour cela, j'ai mis mes cours de maths de 1^ère à profit.
Nous avions en effet étudié les équations de cercle. Et à partir de ça j'ai raisonné de la manière suivante :

Prenons un disque de rayons quelconque, par conséquent, sa surface équivaut à :

Pour simplifier la chose et se débarasser de , on prend donc :

Seulement, nous savons que l'équation d'un cercle est la suivante :

On simplifie afin d'obtenir deux formules en fonction de et et nous pouvons simplifier en prenant pour centre du cercle l'origine du repère donc et :

on a donc deux solutions pour et pour .
Désormais considérons la solution positive de :

Nous cherchons donc maintenant à connaître la surface algébrique entre la courbe de la fonction , associée à .
Cette fonction est définie sur
Prenons donc la partie de sur qui représente donc un quart de la surface totale du disque et nous avons :

Et nous avons donc pour le disque au total :




Mon problème arrive là, je ne sais pas donner la primitive d'une racine carrée et j'aimerai que vous m'aidiez.
Merci d'avance !

Blender82
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[invite371ae0af]

tu peux faire un changement de variable en posant x=sinu dans S

tu obtient: puis tu linéarises (cosu)²

[invite14cee04b]

Bonjour,
je ne suis pas en mesure de "comprendre" ce que vous voulez me dire par linéarisation.
Par contre, ce que vous me prososez est en effet une autre solution, mais moins cohérente avec mon raisonnement
Ce que je ne suis pas en mesure de faire c'est la primitive d'une racine et c'est là que je suis bloqué.
C'est pourquoi je demande votre aide !

Blender82

[albanxiii]

Bonjour,

C'est bien pour cela que 369 vous propose de faire une chamgement de variable pour calculer cette intégrale !
Linéariser signifie exprimer en fonction de fonctions trigonométriques seules, sans les élever à une puissance quelconque (autre que 1 !). Ici cela veut dire exprimer le cosinus au carré en fonction de cosinus et sinus (juste cosinus en fait).

Bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

une autre solution

Ben non, ce n'est pas "une autre solution" (sic) qui t'es proposé. Tu demandes comment calculer une certaine inégrale, et 369 t'indique LA technique de base du calcul d'une intégrale, à savoir par "changement de variable", et qui ici fonctionne bien (ce qui n'est pas non plus le cas tout le temps).

Pour la linéarisation, tu trouveras ci-dessous les formules correspondantes dans le paragraphe "Formules de linéarisation" :

http://gilles.costantini.pagesperso-...s/formtrig.pdf

[invitefd4e7c09]

Mon problème arrive là, je ne sais pas donner la primitive d'une racine carrée et j'aimerai que vous m'aidiez.
Merci d'avance !

Blender82

A la vue des primitives usuelles
Cela n'existe pas, en revanche l'inverse d'une racine y figure.
Reste à savoir si ceci est exploitable en fonction de vos bornes d'intégration.

A première vue, votre raisonnement est juste : ici

Cordialement
Anthony

[breukin]

En fait, on peut aussi intégrer par partie (on intègre et on dérive ).

On pose :

Donc en intégrant par parties :



Donc : .

Mais il est censé être connu que la dérivée de , c'est .

[invitefd4e7c09]

Re,

Lorsqu'on galère à déterminer une intégrale et avant d'appeler Wolfram à la rescousse, on peut se souvenir que :

memo.JPG

Dans votre cas, Breukin vous invite à faire une intégration par parties IPP.
Si vous n'êtes pas à l'aise avec l'IPP, je vous conseille de travailler avec l'exemple tout bête suivant :

IPP.JPG

Bon courage

[invitebf26947a]

bonjour,

j'ai fais la linéarisation de cos(x)². Après long calcul+primitive, on obtient:
4*[x/2+sin(x)cos(x)/2](de 0 à pi/2)
Ce' qui donne
4*(pi/2+0-0-0)
2pi

Je ne sais pas si je me suis planté...

[PlaneteF]

Bonsoir,

Après long calcul

Pourquoi long ? ... c'est même très court :

[invitebf26947a]

Parce que j'ai linéarisé le cosinus carré par la formule d'Euler.^^

[PlaneteF]

4*[x/2+sin(x)cos(x)/2](de 0 à pi/2)
Ce' qui donne
4*(pi/2+0-0-0)
2pi

Tu as fait une petite erreur : c'est 4*(pi/4)=pi

[invitebf26947a]

Exactement, merci de la correction.

Truc a part: comment tu fais pour mettre les couleurs?

[PlaneteF]

Truc a part: comment tu fais pour mettre les couleurs?

Dans la barre d'icônes, clique sur l'icône avec un A majuscule

[invitebf26947a]

Merci de ton aide

[albanxiii]

Re,

Parce que j'ai linéarisé le cosinus carré par la formule d'Euler.^^

Enfin, voyons, il y a un minimum de formules à connaître par coeur, ou au moins à savoir retrouver aussi vite que si on les avait apprises par coeur.

Bonne soirée.

[invite14cee04b]

Bonjour,
merci d'avoir répondu, de mon côté, j'ai persévéré sur la racine et je suis arrivé à faire exactement la même chose que breukin avec l'IPP.
Seulement, au premier abord ce n'est pas simple et je me suis embrouillé avec le sinus (la fatigue du BAC se fait sentir).
J'ai quand même essayé avec ... pour trouver le même résultat
Merci quand même à tous pour ces réponses en couleur

Blender82

[Guimzo]

A la vue des primitives usuelles
Cela n'existe pas, en revanche l'inverse d'une racine y figure.
Reste à savoir si ceci est exploitable en fonction de vos bornes d'intégration.
A première vue, votre raisonnement est juste : ici
Cordialement
Anthony

Bonjour Anthony,



C'est vrai que c'est pas toujours évident
mais sachant que la racine carrée d'un nombre est ce nombre à la puissance 1/2
alors on peut écrire que sqrt(a) = a^1/2


Or dans les tables usuelles nous trouvons que la primitive de a^n = [ a^(n+1) ] / (n+1)

Donc sqrt(a) peut s'écrire a^(1/2) et donc dans notre cas ( n = 1/2 )
une primitive de sqrt(a) peut donc s'écrire
[ (a^(1/2) + 1 ) ] / (1/2 + 1 ) = [ a^(3/2) ] / ( 3/2 ) = [ a^(3/2) ] * ( 2/3 )

[invite57a1e779]

Or dans les tables usuelles nous trouvons que la primitive de a^n = [ a^(n+1) ] / (n+1)

lorsque a est la variable...

[invite14cee04b]

Bonne idée mais cela ne correspond pas à ce que j'attendais, désolé...

Blender82