infinitésimal

[invite0731164c]

Bonjour,

Il y truc qui me dérange depuis passablement de temps ():

Pour une 0-forme différentielle (je pense que c'est 0, ou 1, je ne sais plus...) :

On a où x appartient à E et dx est un vecteur de base de la base duale de E*

Pourquoi diable en physique dit-on alors que dx est un accroissement infinitésimal? Je ne fois vraiment pas de rapport entre un accroissement infinitésimal et un vecteur de base du dual.

Quelqu'un saurait m'éclaircir?
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[gg0]

Bonjour.

Tu essaie d'assimiler une théorisation des écritures différentielles et une forme intuitive de ce calcul. Pas étonnant que tu aies l'impression d'une contradiction. C'est la même que celle entre le père Noël et le fait qu'on dit aux parents les cadeaux qu'on aimerait.

Historiquement, les formes différentielles sont apparues (Leibnitz) comme des quantités infiniment petites mais non nulles. Ce qui a fait d'ailleurs réagir des philosophes de l'époque, se gaussant de ces mathématiciens qui ajoutaient des quantités non nulle sans que ça change le résultat. La méthode est tellement efficace qu'elle est encore employée dans de nombreuses disciplines (physique, chimie, biologie, écologie, économie, ..) et même par les matheux qui ne cherchent pas une expression parfaite, mais une présentation efficace (par exemple l'utilisation d'éléments de surface pour calculer des intégrales). Pour bien comprendre, lire l'histoire des mathématiques des seizième, dix-septième et dix-huitième siècles.
Il y a eu de nombreuses rationalisation de ces idées, d'abord en les évacuant (fonctions définies par les séries entières, définition par les limites, ...), puis en les "cachant" (formes différentielles), enfin en leur donnant un statut (analyse non standard, ...). Mais comme ces rationalisations sont toutes plus délicates à présenter pour les physiciens, ils utilisent encore ces méthodes anciennes, mais qui ont fait leurs preuves.

Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Simple simplification "à la physicienne" afin de ne pas se casser la tête avec les détails mathématiques.

[Tiky]

Bonjour

Si tu veux une théorie rigoureuse des infinitésimaux, tu peux allez voir du côté des hyperréels.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0731164c]

Je vois pas trop...

Les mathématiciens on tenter de formuler quelque chose (en l'occurrence les différentiels/infinitésimaux rencontrés en physique). Il font toute une théorie, mais qui n'a aucun lien (à part les notations) avec ce qu'ils voulaient formaliser?
Je pense que je suis passé à coté de quelque chose. N'y a-t-il pas une genre d'identification entre E* et R qui permettrait de dire que les éléments de E* sont des infinitésimaux ou quelque chose du genre?

[Médiat]

Bonjour,

Vous pouvez regarder le fichier final.pdf là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180

[Bruno]

Bonjour,

gg0 a bien résumé ce qu'il en est, d'où ma question: peux-t-on affirmer que l'approche de l'analyse non-standard a apporté les fondations manquantes à ce qui était certes intuitif et utile mais rigoureusement faux (l'approche à coup d'epsilon n'étant franchement pas élégante) ?

[Médiat]

Bonjour,

peux-t-on affirmer que l'approche de l'analyse non-standard a apporté les fondations manquantes à ce qui était certes intuitif et utile mais rigoureusement faux (l'approche à coup d'epsilon n'étant franchement pas élégante) ?

Oui, absolument (pour la partie en gras), regarder le fichier cité ci-dessus, chapitre sur les infinitésimaux.

[invite0731164c]

Je vois.

Et si on identifie les infinitésimaux en physique et les vecteurs de base du dual ou à des différentielles extérieures, et qu'on fait des calculs sur les formes différentielles, ça devrait marcher non?

par exemple, en thermo, si j'ai je peut dire que est la différentielle extérieure de la forme différentielle Q et la différentielle extérieure de la forme différentielle T, est-ce correcte?

[albanxiii]

Bonjour,

En thermodynamique, dépend en général du chemin suivi pour l'intégration, ça ne peut pas être une différentielle. Mais si votre prof de physique ne vous l'a pas répété 10000 fois, c'est qu'il l'a répété encore plus !

Bonne soirée.

[invite0731164c]

Bonjour,

En thermodynamique, dépend en général du chemin suivi pour l'intégration, ça ne peut pas être une différentielle. Mais si votre prof de physique ne vous l'a pas répété 10000 fois, c'est qu'il l'a répété encore plus !

Bonne soirée.

très intrigant!

Alors c'est quoi ?
En fait, de manière générale : dans tous mes livres d’ingénierie, on a puis on intègre: . Mais j'ai beau lire et relire mon cours d'analyse et je vois bien qu'il y a un truc qui cloche: quand on intègre on doit intègrer par rapport à une variable, du coup si on intègre on aurrait . Du coup, je me penche sur un cours sur les formes différentielles. On me dit alors que ça n'a rien à voire. Je suis un peu déçu...

pourriez-vous m'expliquer ce que ça signifie, si ce n'est pas une différentielle?

Merci d'avance

PS:c'est vrai, mon prof de physique se répétait beaucoup

[Bruno]

Bonjour,

L'intégrale dépend du chemin d'intégration choisi dans l'espace (p,V,T) autrement dit de la transformation (on peut faire une analogie avec l'intégration des fonctions complexes). C'est pour cela qu'on note δQ et non dQ car dQ correspond à une différentielle exacte. Dans le cas particulier des transformation réversibles, on a δQ=dQ et on dispose alors d'une primitive.