Support d'une suite réelle et ouverture

[Bruno0693]

Bonjour,

Je continue mon initiation à la topologie en vue de mon entrée en L3.

Dans de nombreux exercices, on nous demande de montrer qu'un ensemble est ouvert ou fermé. En général, il n'est pas trop difficile de montrer qu'un tel ensemble n'est pas ouvert, d'exhiber un u_n et une boule ouverte centrée en u_n qui contient des éléments autres que ceux de la suite. Parfois cela peut être un peu plus difficile en fonction de l'expression de la suite.

Je souhaiterais ainsi montrer que, dans R muni de la topologie usuelle, le support d'une suite réelle quelconque n'est pas un ouvert. Pour cela, je pourrais montrer qu'il existe un x_n appartenant à A et une boule ouverte centrée en x_n qui n'est pas incluse dans A. Cependant, je voudrais montrer un résultat plus général, à savoir que pour tout x_n de A, je peux trouver une boule ouverte centrée en x_n qui n'est pas contenue dans A ; résultat qui me permettra de tirer des conclusions intéressantes sur la nature de A.

Soit donc R muni de la topologie usuelle. Soit d la distance induite par cette topologie et définie, pour tout (x,y) dans R², par d(x,y) = |x-y|. Soient encore une suite quelconque de réels et son support.

Montrons que, pour tout , il existe une boule ouverte centrée en qui n'est pas incluse dans A.

Voilà comment je procède :

Soit .

Cas I : Si, pour tout , alors et le point est bien entendu isolé : toute boule ouverte centrée en n'est évidemment pas incluse dans A.

Cas II : S'il existe au moins un entier tel que , posons alors :




Bien entendu

Soit alors

Si , alors, comme il s'agit d'une borne inférieure, on a :



Soit , soit , ce qui est impossible car et .

Ainsi, et la boule n'est pas incluse dans A.

En rassemblant les résultats des cas I et II, on a donc montré que A n'est pas un ouvert.

D'autre part, cette étude me permet également de constater que successivement :

1) Tous les points de A sont isolés.

2) En notant T la topologie usuelle de R, : la topologie induite sur A par la topologie T de R est la topologie discrète car elle contient tous les singletons de A.

3) A est discret.

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Cette preuve et ces conclusions vous paraissent-elles correctes ? Ai-je sauté des étapes ? Y a-t-il d'autres moyens (plus simples) de montrer que A est discret ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Seirios]

Bonjour,

Il y a un problème dans ce passage :

Si , alors, comme il s'agit d'une borne inférieure, on a :



Soit , soit , ce qui est impossible car et .

Tu ne précises pas quel est ce n, puisqu'il varie dans le propriété que tu donnes. En fait, il se peut même qu'il n'existe pas (différent de ) si est un point d'accumulation stricte de la suite.

Un simple argument de cardinalité devrait te permettre de conclure : si x est un point intérieur à A, alors il existe un segment ouvert inclus dans A et contenant x ; or un tel segment est indénombrable alors que A est dénombrable, d'où x isolé.

[Tryss]

Moi je le ferrai par un argument tout simple de cardinalité :

1) Toute boule ouverte contient un nombre non dénombrable de réels (on peut facilement exhiber une bijection entre toute boule ouverte de R et R)
2) A ne contient au plus qu'un nombre dénombrable de réels

Donc comme le cardinal de A est strictement plus petit que celui de toute boule ouverte, il n'existe pas de boule ouverte contenue dans A, ainsi A n'est pas ouvert.


Par contre A n'est pas forcément discret, par exemple x_0 = 0 et x_n = 1/n pour n > 0 va former un ensemble A qui n'est pas discret : Tout voisinage de x_0 dans la topologie de départ contient un x_n (et même une infinité). La topologie induite n'est donc pas la topologie discrète ({0} est un point d'accumulation)

[Bruno0693]

Merci beaucoup pour vos réponses.

Je vais essayer de rédiger rigoureusement cette preuve par la cardinalité (en espérant ne pas trop écrire de bêtises car je ne maîtrise pas bien cette notion).

Soit donc

Montrons que A n'est pas ouvert dans R.

Supposons que, pour tout , il existe une boule ouverte

Alors, il existe une surjection

D'où

Or, A est dénombrable (infini), donc et a la puissance du continu.

D'où : , contradiction avec notre hypothèse.

Conclusion : pour tout élément il existe une boule ouverte centrée en x_n qui n'est pas incluse dans A. Donc A n'est pas ouvert.

S'il y a une erreur, merci de me la signaler.

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Moi je le ferrai par un argument tout simple de cardinalité :
Par contre A n'est pas forcément discret, par exemple x_0 = 0 et x_n = 1/n pour n > 0 va former un ensemble A qui n'est pas discret : Tout voisinage de x_0 dans la topologie de départ contient un x_n (et même une infinité). La topologie induite n'est donc pas la topologie discrète ({0} est un point d'accumulation)

Je vais réfléchir à la remarque de Tryss, qui rejoint d'ailleurs l'objection que me faisait Serios. Cependant, même si je ne vois pas encore comment le démontrer, il me vient l'intuition (peut-être fausse) suivante :

- Si A est fermé, alors il n'est pas discret : en effet, un élément est nécessairement un point d'accumulation car une suite d'éléments de A converge vers lui et on retombe sur la remarque de Tryss.

- Si A n'est pas fermé, alors il est discret. Je ne sais pas du tout si c'est correct ni comment le montrer pour le moment mais, par exemple, l'ensemble ne contient pas 0 qui aurait pu être le seul point d'accumulation de cet ensemble. Dans ce cas, les autres points sont isolés et on retombe sur un ensemble discret (?).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Que penses tu du A obtenu grâce à la suite x_n = (-1)^n par rapport à ton intuition?

Que penses tu d'un A tels que les x_n parcourent tout les rationnels strictement compris entre 0 et 1 par rapport à ton intuition?

[Bruno0693]

Oui, effectivement...

A = {(-1)^n, n>0} est fermé et ses deux points sont isolés : c'est un ensemble discret

A = {0 < q < 1, q dans Q} n'est pas fermé et aucun de ses points n'est isolé : ce n'est pas un ensemble discret

Merci pour ces exemples qui m'aident à y voir plus clair.