resolution d'une équation de 3éme degré, d'une variable réelle et à coefficients complexe?

[inviteeb648d9f]

Bonjour,

Je suis un physicien chercheur, dans mes recherches j'ai trouver un polynôme de troisième dégrée qui s’écrit sous cette forme:

P(X)=X^3+AX^2+BX+C , A,B,C sont expressions complexes et X est réel.

Mon objectif est d'écrire ce polynôme sous cette forme:

P(X)=(X-X1)(X-X2)(X-X3)

J'ai utilise Mathématica pour le factoriser et j'ai mis la commande solve[equation], mais ça pas donner des bonnes resultats.
Donc mes questions sont les suivantes:
-Comment je peux résoudre ce type d'équation?
-Pourquoi Mathématica n'a pas donner un bon résultat?

Merci
-----

[invite9617f995]

Bonjour,

Cherchez-vous une valeur approchée des racines ou une expression algébrique exacte ? Les deux sont possibles mais la formule exacte est assez lourde.

Si vous voulez une valeur approchée, je ne peux pas trop vous aider car je ne connais pas bien les logiciels de calcul. Par contre, pour les formules exactes, je vous invite à regarder la méthode de Cardan.

Silk

[inviteeb648d9f]

Merci Silk pour votre réponse,
mais est ce que la méthode de Cadron est générale, c'est à dire elle prend en compte que les coefficients sont complexes et l'inconnue est réel?

Merci

[invite9617f995]

De rien. Oui la méthode est valable pour des coefficients complexes à de tout petits changements près : il faut juste faire un petit peu gaffe à ce qu'on appelle racine carrée d'un nombre complexe.
Dans la page Wikipédia, ils ne traitent que le cas des paramètres réels et donc quand ils doivent parler de la racine carrée d'un nombre il détaille les deux cas possibles (le nombre est soit positif soit négatif, auquel cas ils font appel au complexes).
Pour un nombre complexe, ces considérations n'ont plus de sens et il n'y a en fait plus besoin de détailler : on peut prendre pour racine complexe de z=re^iθ avec r réel positif et θ entre 0 et 2pi le nombre z=sqrt(r) e^iθ/2, sachant qu'à chaque fois une autre solution utilisera l'opposé de ce nombre.

Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Il n'y aucune raison que si z est solution alors -z est solution.
Avec les coefficients complexes, même si z est solution, on ne peut rien dire pour son conjugué. Exemple : x^3 = i.

Edit : j'ai peut-être mal compris la fin de ton message. Ne pas en tenir compte dans ce cas.

[invite9617f995]

@Tiky : Je ne dis pas que ça sera le conjugué mais juste une solution basée sur la même formule avec un + ou un - devant la racine. Si je dis ça j'ai juste par raison de symétrie : algébriquement racine(delta) et -racine(delta) se comporteront pareil et donc donneront chacun une solution.
D'ailleurs ça se voit dès le degré 2 : si tu considères l'équation aX²+bX+c avec a, b et c complexes, les solutions seront bien :
et .
Effectivement x₁ et x₂ ne seront pas conjugués car racine(delta) et a sont eux-même complexes mais il y a bien deux solutions correspondant aux "deux racines possibles" de delta.

Silk

[Tiky]

Ok, ça correspond bien à ma seconde compréhension de ta réponse.

[Médiat]

Si est un réel solution de , où , et sont complexes, alors en prenant le conjugué des deux membres on obtient

et en soustrayant ces deux équations, le résultat est, au plus, du 2nd degré.

[invite9617f995]

Ah oui effectivement, j'ai encore tenté d'écraser une mouche au marteau piqueur moi
Très élégant et très malin Médiat Par contre, étrangement ça ne marche que si au moins un des coefficients est non réel, j'avais encore jamais vu de cas où l'équation est plus facile à résoudre lorsque elle est plus "complexe" (complexe dans plusieurs sens du terme ^^).

[inviteeb648d9f]

je ne suis pas sur que j'ai bien compris le message de Médiat,
est ce que je doit faire la soustraction et resoudre une eqution de second degree pour avoir mon resultat?

[invite51d17075]

Si est un réel solution de , où , et sont complexes, alors en prenant le conjugué des deux membres on obtient

et en soustrayant ces deux équations, le résultat est, au plus, du 2nd degré.

bonjour Médiat,
est-ce qu'en soustrayant, tu ne crée pas une implication mais pas une équivalence ?

[Médiat]

Bonjour,

bonjour Médiat,
est-ce qu'en soustrayant, tu ne crée pas une implication mais pas une équivalence ?

Si (je n'ai d'ailleurs pas écrit que cette soustraction donnait directement les solutions ), mais c'est plus simple de calculer les racines d'une équation du 2nd degré à coefficient réels et puis de vérifier que les solutions réelles sont ou non solutions de celle du troisième, que de résoudre une équation du 3ième degré à coefficients complexes.

Une autre façon de faire, parfaitement équivalente, consisterait à écrire chaque coefficient sous la forme et de séparer partie réelle et partie imaginaire donnant lieu à une équation du 3ième degré et une du 2ième.

[invite15b2900e]

Bonjour,

Cherchez-vous une valeur approchée des racines ou une expression algébrique exacte ? Les deux sont possibles mais la formule exacte est assez lourde.

Si vous voulez une valeur approchée, je ne peux pas trop vous aider car je ne connais pas bien les logiciels de calcul. Par contre, pour les formules exactes, je vous invite à regarder la méthode de Cardan.

Silk

Salutations
le plus simple est d'utiliser les expressions algebriques exactes pour le 3 et le 4
à mon avis il est interdit de les donner même sur ce forum et cela pour aider la personne
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
dans ce cas là autant lui donner tout mais se sera pas moi

[invite51d17075]

Bonjour,


Si (je n'ai d'ailleurs pas écrit que cette soustraction donnait directement les solutions ), mais c'est plus simple de calculer les racines d'une équation du 2nd degré à coefficient réels et puis de vérifier que les solutions réelles sont ou non solutions de celle du troisième, que de résoudre une équation du 3ième degré à coefficients complexes.

Une autre façon de faire, parfaitement équivalente, consisterait à écrire chaque coefficient sous la forme et de séparer partie réelle et partie imaginaire donnant lieu à une équation du 3ième degré et une du 2ième.

merci Mediat, c'est plus clair pour moi.

[inviteeb648d9f]

@Mediat,

"Une autre façon de faire, parfaitement équivalente, consisterait à écrire chaque coefficient sous la forme et de séparer partie réelle et partie imaginaire donnant lieu à une équation du 3ième degré et une du 2ième"


c'est ca ce que j'ai fais exactement, mais est ce que les deux soltution de l'equtions de second degree sont les memes de celle de troisieme degree? est ce que il y'a un theorme qui dit ca?( c'est impossible de verifier en les remplacant puisque les expressiosn des cofficients sont tres lourds)

[Médiat]

c'est ca ce que j'ai fais exactement, mais est ce que les deux soltution de l'equtions de second degree sont les memes de celle de troisieme degree? est ce que il y'a un theorme qui dit ca?( c'est impossible de verifier en les remplacant puisque les expressiosn des cofficients sont tres lourds)

S'il n'y a pas au moins une solution commune c'est que l'affirmation qu'il existe une racine réelle est fausse.