Déterminant d'une matrice orthogonale

[invited7e4cd6b]

Bonjour F.S.,
Je souhaite savoir si il y'a une méthode pratique pour expliciter le déterminant d'une matrice orthogonale.
J'ai vu sur un bouquin qu'il suffisait de voir le signe d'un cofacteur.
Merci bien.
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[invitec3143530]

si A est une matrice orthogonale alors det(In) = det(A.tA) = 1 donc (det(A))²=1, donc detA vaut 1 ou -1.

[invited7e4cd6b]

Bonjour,
Oui je sais ca. Merci tout de même.
Mais y'a t il une méthode ou astuce pour voir si c'est +1 ou -1, sans tout calculer(au moins en dim 3)? C'est ma faute, j'ai mal formulé.

[invite705d0470]

Euh, et bien oui je pense (si j'ai bien compris la question bien sur ^^): en utilisant cette même formule , on sait que si A est orthogonale (i.e ), alors .
D'où une relation simple entre les coefficients de A et ses cofacteurs.
En particulier, si on sait que la matrice est orthogonale, il suffit de comparer le premier coefficient de A avec le cofacteur associé, et de comparer leur signe: si alors la matrice appartient au groupe spécial orthogonal.

J'espère que celà répond au moins partiellement à la question

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

Parfait... Merci bien.

[invitea0db811c]

Euh, et bien oui je pense (si j'ai bien compris la question bien sur ^^): en utilisant cette même formule , on sait que si A est orthogonale (i.e ), alors .
D'où une relation simple entre les coefficients de A et ses cofacteurs.
En particulier, si on sait que la matrice est orthogonale, il suffit de comparer le premier coefficient de A avec le cofacteur associé, et de comparer leur signe: si alors la matrice appartient au groupe spécial orthogonal.

J'espère que celà répond au moins partiellement à la question

Bonsoir,

le petit problème ici, c'est que ça marche sur des exemple pas trop gros, en effet calculer un déterminant de grande taille est généralement impossible. Mais ceci mis à part, je n'ai pas de meilleur idée à proposer.