Sous-groupe

[invite50baf54d]

Bonsoir,
J'aimerais qu'on éclaircisse le théorème suivant:
Soit (G;.) un groupe et H un sous-ensemble de G
Alors, H est un sous-groupe de G ssi (i) H est non vide
(ii) H est stable pour la loi de G (1) et par passage au symétrique (2)
Là ou j'ai un problème c'est pour (ii) (2); le "par passage au symétrique" veut-il dire qu'on doit trouver un argument qui justifie que tout élément de H possède un symétrique? (car le plus souvent on ne sais pas à quoi ressemble "les" symétriques)
Merci pour vos réponses
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[invitec3143530]

ça m'a pas l'air d'être un théorème, mais plutôt la définition d'un sous-groupe. Dans le (ii) ça dit en effet qu'il faut que le symétrique d'un élément (celui-ci existe toujours dans G) doit appartenir à H.

[invite1228b4d5]

salut,

Pour moi, c'est une caractérisation des sous groupes.

Le (ii) se démontre souvent de la façon suivante : tu considère un élément a de ton sous groupe, et tu montre que son "symetrique" est dans le sous groupe H
si on le note multiplicativement la loi de groupe, il faut montrer que :
pour tout a dans le sous groupe H, l'inverse de a dans G (noté ) est dans H.

exemple : montrer que (Z,+) est un sous groupe de (R,+) :
Z est inclus dans R
0 est dans Z
Z est stable par + (la somme de deux entier est toujours un entier)
Et, pour (ii), si je prend un élément n de Z, alors (-n) est aussi dans Z donc (ii) est verifié.

Finalement, Z est bien un sous groupe de R

[invite50baf54d]

Merci et oui il s'agissait de la caractérisation des sous-groupes

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir Moial.

"car le plus souvent on ne sais pas à quoi ressemble "les" symétriques". Si, on le sait, puisqu'on connaît G. C'est le symétrique de tout élément de H, symétrique dans le groupe G, qui doit être dans H.

C'est un excellent exercice de montrer que dans ces conditions, H, muni de la même loi que celle de G, est un groupe.

Cordialement.

[PlaneteF]

(ii) H est stable pour la loi de G (1) et par passage au symétrique (2)

Bonsoir,

Juste une petite remarque : Dans de nombreux cours, ces 2 propriétés, (ii)(1) et (ii)(2), sont regroupées en une seule :



De cette manière, c'est un peu plus rapide à démontrer et à présenter !

[invite50baf54d]

Bonsoir Moial.

"car le plus souvent on ne sais pas à quoi ressemble "les" symétriques". Si, on le sait, puisqu'on connaît G. C'est le symétrique de tout élément de H, symétrique dans le groupe G, qui doit être dans H.

C'est un excellent exercice de montrer que dans ces conditions, H, muni de la même loi que celle de G, est un groupe.


Cordialement.

Donc, si j'ai bien compris ce que vous m'avez expliqué, le fait que H soit inclus dans G nous donne l'allure des symétriques de H: ils sont de la forme de ceux de G?

[Médiat]

Bonjour,

D'une façon générale, une sous-structure d'une structure est un sous-ensemble de l'ensemble sous-jacent à la structure et les éléments du langage, constantes, fonctions, relations sont les éléments définis dans la structure, restreints au sous-ensemble, et donc, le symétrique (c'est une fonction) d'un élément du supposé sous-groupe est le symétrique de cet élément dans le groupe, et il reste à démontrer qu'il appartient bien au sous-ensemble correspondant au supposé sous-groupe.

[invitec4ad5ab5]

Donc, si j'ai bien compris ce que vous m'avez expliqué, le fait que H soit inclus dans G nous donne l'allure des symétriques de H: ils sont de la forme de ceux de G?

Oui, Comme est dans , si s'avère être un sous-groupe de alors les symétriques des éléments de sont les symétriques de ces mêmes éléments considérés dans . C'est par ailleurs cohérent compte tenu de l'unicité du symétrique dans un groupe ( en l'occurrence).