Résoudre systéme d'équation

[Guimzo]

Bonjour comment résoudre avec simplicité ce systéme d' équations :

(x^2) + (y^2) = a

x * y = b



Quelle est la formule générale qui donne x et y.....?
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[inviteea028771]

Déjà géométriquement, c'est l’intersection d'un cercle (1ère équation) et d'une hyperbole (2ème équation), donc il va y avoir 4 solutions

Si b = 0, et y = 0, alors x = + ou - racine(a)

Si b !=0, alors y != 0 et x= b/y, et la première équation devient :

y^4 - ay² + b² = 0

C'est une équation du 2nd degré (d'inconnue z=y²), que l'on sait parfaitement résoudre, on obtient deux solutions pour y², et donc 4 solutions pour y

[Guimzo]

Bonsoir Tryss et merci pour ta réponse.

Une réponse comme je les aime Clair ordonné et précis...!! : )


Alors la condition est : " a " supérieur à " b " et " b " strictement supérieur à 0 peux-tu donner la formule générale qui donne x ou y en considérant les cas


Si Delta supérieur à ..... alors x = ......

Si Delta inférieur à ..... alors x = .......

[Guimzo]

Merci pour cet aiguillage....


Pour tout systéme d'équations tel que

( x^2) + (y^2) = a

x * y = b


Avec a > b > 1 et y > x > 1
Alors une solution de y peut s'écrire :


y = sqrt { [ a + sqrt( ( a^2) - (4*(b^2) ) ] / 2 }

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

D'ailleurs j'ai dit une bêtise quand je dis "il va y avoir 4 solutions", non, il y a soit 0 (si le cercle est "à l'intérieur" de l'hyperbole) soit 2 (si le cercle est tangent à l'hyperbole) soit 4 solutions si tout se passe "bien".

Déjà on voit que si a² < 4b², alors il n'y a pas de solution (le cercle est "à l’intérieur" de l'hyperbole)

http://www.wolframalpha.com/input/?i...+and+x*y+%3D+1

Si a² = 4b², alors il y a deux solutions, qui sont les coordonnées des points ou l'hyperbole et le cercle sont tangents :



http://www.wolframalpha.com/input/?i...+x*y+%3D+1%2F2

Et si a² > 4b², il y a 4 solutions, qui sont les coordonnées des points ou le cercle et l'hyperbole s'intersectent :




http://www.wolframalpha.com/input/?i...+x*y+%3D+1%2F5

[Guimzo]

Bonsoir Tryss,



Très belle façon d'ordonner les choses c'est une réponse claire générale et rigoureuse.
Merci.