Différentielles

[invitea86014ac]

Bonjour à vous,

Je ne comprends pas pourquoi si


Alors _x=_y

Merci d'avance
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[Amanuensis]

C'est plus ou moins facile à démontrer, selon le cadre dont on dispose. En géométrie différentielle, cela se montre en partant de d(df)=0, propriété générale de l'opérateur d.

En développant 0 = d(df) = d(Adx+Bdy), on obtient l'égalité indiquée (en faisant attention que dxdy = -dydx )

[invite76543456789]

Salut,
Il faut supposer f de classe C2 (on peut faire un tout petit peu plus faible) sinon cela ne marche pas.
La preuve est tres simple, il suffit de dessiner un carré de coté t de coin un certain point (a,b) puis comparer les taux d'accroissement sur le coté haut et le coté bas du carré.
En faisant tendre le coté vers 0, on obtient le resultat, la continuité des dérivées secondes est cruciale (ou d'au moins l'une d'entre elles).

[invitea86014ac]

Merci à vous deux

[A voir en vidéo sur Futura]