equation différentielle (solution analytique et aprochée)

[invite9f95f6e7]

Bonjour
je débute le cours des différences finies pour résoudre des équations différentielles mais je suis un peu bloquée et j ai besoin d un coup de pousse ..

prenant cet exemple qui va m aider pour bien comprendre la stratègie de la méthode et son utilité:
on cherche à déterminer la solution exacte et la solution approchée de cette équations par la méthode des différences finies :et par la suite on compare les résultats:

-U" +4x *U=2 e^(-x²)
U(0)=1
U(1)=1/e

PS : ils ont trouvé comme solution exacte U(x)=e^(-x²) mais je ne sais pas comment ils ont trouvé cette solution !

mes réponses:
concernant la méthode des différences finies
on remplace U" par -Uj+1-2Uj+Uj-1 / h avec h=b-a/N+1 = 1/e(N+1)
et on obtient :
-Uj+1+2Uj-Uj-1 +4xj *h* Uj=2 *h * e^(-xj²)
alors :
-Uj-1 +Uj[2+4xj*h]-Uj+1 =2 *h * e^(-xj²)

en utilisant la notation matricielle on obtient ;
AU=F
ou :
F=[2 *h * e^(-(x1)²) ;2 *h * e^(-(x2)²).....;2 *h * e^(-(xN)²)]
U=[U1 ;U2........;UN]
A=[-1 2+4x1*h -1 0..0;0 -1 2+4*x2*h -1..0 ; ....2+4*xN*h -1]
(F , U et A sont des matrices , les lignes sont séparées par des point virgules et les colonnes par un vide )
si A est inversible alors U=A^(-1)*F
je suis bloquée ici ,comment résoudre ce système S: pour trouver U
merci de m avoir aidée
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[invite63e767fa]

Bonjour,

as-tu pris la peine de vérifier si U(x)=e^(-x²) est bien solution de -U" +4x *U=2 e^(-x²) ?
Et bien, non. En effet U(x)=e^(-x²) est solution de -U" +4x² *U=2 e^(-x²)
Il y a donc une mauvaise transcription de l'énoncé du problème ou une erreur dans l'énoncé lui-même.

[invite9f95f6e7]

BOnjour
merci infiniment de m'avoir répondue

dans l 'enoncé la solution exacte est u(x)=e^(-x²) de (E) : -U"+4*x² *U=2 e^(-x²)
je trouve bien que u(x)=e^(-x²) est une solution de (E)
u(x)=e^(-x²)
u'(x)=-2*x e^(-x²)
u"(x)=-2 e^(-x²) +4*x² e^(-x²)
alors (E)<=> 2 e^(-x²) -4*x² e^(-x²)+4*x² * e^(-x²)=2 e^(-x²) donc c bien une solution de (E)
mais en principe , comment ils ont trouvé cette solution???
et comment puis je continuer la méthode des différences finies que j ai déjà établis?
merci d avance

[invite63e767fa]

Donc l'équation n'est pas -U" +4x *U=2 e^(-x²) tel que c'était dans votre premier message (et qui apparaissait ainsi sur mon écran).
Vérifiez si cette erreur ne s'est pas répercutée dans la suite de ce que vous avez écrit.
Je n'ai pas été plus loin car la dactylographie de votre question est trop pénible à lire et risque de faire perdre du temps en cas de mauvaise compréhension.

En ce qui concerne la solution particulière de l'équation -U" +4x² *U=2 e^(-x²) , si on emploie la méthode générale de résolution (d'abord sans second membre, puis la méthode de variation des constantes), c'est compliqué et trop long. Sachant qu'il s'agit d'un exercice scolaire, il faut s'attendre à ce qu'une solution soit "presque" évidente. Par tâtonnement et en essayant des fonctions simples, on a de fortes chances de tomber sur la bonne. D'autant plus que le terme de droite e^(-x²) oriente la recherche vers une solution de cette même forme. Il y a souvent un coefficient à ajuster pour tomber juste, mais dans le cas présent c'est encore plus simple, on voit rapidement que le coefficient est 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9f95f6e7]

re Bonjour
merci pour la réponse mais si on veut le résoudre en utilisant les différences finies ?
je suis bloquée dans la partie que j'ai déjà mentionné dans mon premier message .
merci d avance