Bonjour à tous
Je cherche des pistes pour démontrer un théorème, dit de Netto, selon lequel il n'existe aucune bijection continue dedans
Peut on se servir d'outils "topologiques" ? (connexité par exemple)
Merci d'avance des vos suggestions et pistes !
Snowey, en vacances (?)
Salut!
Une piste.
Une telle bijection serait un homeo.
Or pr des raisons de connexite, on ne peut avoir un homeo entre ces deux espaces.
Bonjour MissPacMan, et merci de votre piste
Mais je ne comprends pas pourquoi si f est continue, bijective alors sa réciproque est aussi continue :/ (donc que c'est bien un homéomorphisme)
Je n'ai jamais vraiment beaucoup travaillé avec cetz notion de connexité (par arc ici, cela suffit, non ?), pourriez vous me montrer la preuve du résultat ?
Enfin, je vous montre que je m'investis quand même: voilà ce que j'aurais fait.
Soit f un homéomorphisme du carré C dans le segment S. S est un segment, donc un intervalle de R ce qui en fait un connexe (par arc, aussi) et le carré, en tant que produit SxS d'ensembles connexes (par arc), est aussi connexe (par arc). On enlève à C un point quelconque Y. f reste continue, bijective, de C\{Y} dans S\{f(Y)}. Or le nouvel ensemble de départ est connexe, donc par continuité de f son image l'est aussi. Il y a contradiction si f(Y) n'est pas un bord du segment (alors déconnecté), et si c'est le cas, on peut réitérer l'argument en enlevant un nombre fini de points (ici, trois suffisent), l'ensemble de départ restant bien connexe (par arc).
Mais je n'ai pas spécialement utilisé la bijectivite de f, ce qui me paraît un peu bizarre.
Autre question: est il correct que C\{Y}, Y point quelconque du carré, n'est plus compact ?
Merci d'avancée m'avoir lu !
La connexité simple suffit pour l'argument (qui est correct). La bijectivité est nécessaire, parce que le carré moins un point reste connexe. Par bijectivité, l'image du segment moins un point est exactement le carré moins un point...
Dernière modification par Amanuensis ; 10/08/2012 à 09h39.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Ben oui... Suffit de prendre une suite dans C\{Y} ayant Y comme seul point d'accumulation dans C. Elle ne converge pas dans C\{Y}, QED.Envoyé par Snowey
Autre question: est il correct que C\{Y}, Y point quelconque du carré, n'est plus compact ?
Dernière modification par Amanuensis ; 10/08/2012 à 09h44.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
tu as raison mais je me demande si on peut montrer que le carré privé d'un point est connexe sans passer par la connexité par arcs.
Bonjour,
Dire que
Sinon, je te propose le schéma suivant de démonstration (en reprenant tous les détails, mais c'est essentiellement ce que tu as fait) :
- Tu supposes qu'il existe une bijection continue et tu montres que ce serait un homéomorphisme.
- Tu montres que l'image d'un connexe par une application continue est connexe.
- Tu montres que la restriction de f sur [0,1] privé d'un point forme un homéomorphisme sur son image.
- Et enfin tu montres qu'un segment privé d'un point n'est pas connexe et que le carré privé d'un point est connexe.
Dernière modification par Seirios ; 10/08/2012 à 10h05.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pour éviter une itération, tu peux prendre l'inverse de ton application pour partir du segment ; dès lors, tu peux choisir le point que tu enlèves et ne pas prendre un élément du bord.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour,
Le carré privé d'un point intérieur est homéomorphe au disque unité privé de son centre.
Le disque unité privé de son centre est l'image de la bande
La bande
ah oui. Clair et net. Je ne pousserai pas le pinaillage jusqu'à te demander d'exhiber un homéomorphisme entre le disque et le carré...
A-t-on réellement besoin de montrer que l'on a un homéomorphisme. Le fait que f soit une bijection continue de
Merci à tous
Oui, mais je ne vois pas de preuve vraiment plus simple que de passer par l'homéomorphisme.Le fait que f soit une bijection continue de
Il me semble que l'application
Tu as raison. Une bijection continue n'est pas suffisante.
Il existe une bijection continue de R (réels) dans le cercle. Cependant, le cercle privé d'un point n'a qu'une seule composante connexe.
Je me suis un peu précipité en pensant qu'un espace topologique qui est l'union disjointe (en tant qu'ensemble) de deux connexes n'est pas connexe. Ce qui est stupide
