Notation exponentielle

[MaksFt]

Bonjour à tous,

Après quelques recherches dans le forum, je n'ai pas trouvé de sujet semblable au mien, excusez-moi si je me trompe !

Je me pose une question : sortant de terminale, j'ai appris que , mais je ne saisis pas le concept du nombre multiplié "" fois par lui même (d'après la définition de la puissance ...).
n'étant pas réel, on ne devrait pas pouvoir écrire cette expression ?

Je m'en remets à vous pour comprendre !
Merci.
-----

[invite52487760]

Bonjour,
Non, n'est pas un nombre multiplié fois par lui même. Si , d'accord, si , alors, ce n'est pas le cas.
est surtout une notation pour désigner une fonction qui à associe un nombre qui vérifie certaines conditions. C'est la fonction avec circulant dans
est le prolongement de la fonction dans .
La fonction est définie comme étant l'unique solution de l'équation différentielle avec condition initiale : et , et il se trouve que la solution de ce problème avec est la fonction qui vérifie dans le cas : ( - fois ). En général, on a : et ce .
Sauf erreur de ma part.

[Médiat]

je ne saisis pas le concept du nombre multiplié "" fois par lui même (d'après la définition de la puissance ...).

Bonjour,

Comprenez-vous le concept de comme étant multiplié fois par lui-même ?

[Bruno]

Vous pouvez voir l'exponentielle évaluée en ix comme la fonction vers laquelle converge cette série :



Plus généralement, ça reste vrai si vous remplacez (ix) par une matrice A carrée quelconque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MaksFt]

est surtout une notation pour désigner une fonction qui à associe un nombre qui vérifie certaines conditions. C'est la fonction avec circulant dans

D'accord, je commence à mieux saisir ... donc je n'aurai jamais le droit de dire que est 2,718281... à la puissance ?

Comprenez-vous le concept de comme étant multiplié fois par lui-même ?

J'avoue que je me le représente mieux, probablement parce que la racine de 2 est réelle bien qu'elle soit irrationnelle : on peut éventuellement encadrer à coups de mino/majorations avec des rationnels (je raconte peut-être n'importe quoi ), alors que le nombre n'est pas "visualisable" !

Pour Bruno, je sors tout juste de terminale, je n'ai pas encore étudié les séries numériques et les matrices

[pallas]

Regardez quelques applications de cette formule en recherchant formule de Moivre puis eventuellement formule d'Euler

[Bruno]

Pas besoin d'avoir étudié les séries pour comprendre que la valeur vers laquelle "tend" cette somme infinie :



est par définition l'exponentielle de (ix). Bien sur il existe d'autres définitions mais c'est à mon avis la plus générale car elle fonctionne avec (presque) n'importe quoi à la place de (ix).

[Médiat]

J'avoue que je me le représente mieux, probablement parce que la racine de 2 est réelle bien qu'elle soit irrationnelle : on peut éventuellement encadrer à coups de mino/majorations avec des rationnels (je raconte peut-être n'importe quoi )

C'est exact, néanmoins, ne serait-ce que ne peut s'interpréter directement comme multiplié fois par lui-même.

alors que le nombre n'est pas "visualisable" !

Si, si , par contre il n'est pas encadrable par des réels.

La définition la plus pratique (elle permet de retrouver très vite une gros paquet de propriétés) de est bien celle donnée par Bruno :

[Linkounet]

Tu peux te dire que vu que exp(a+b)=exp(a)exp(b), ce qui est la même propriété des puissances intuitives (un nombre multiplié n fois par lui-même), on a utilisé la même notation.

[gg0]

Bonjour MaksFt.

Si tu ne connais rien aux séries, il te reste la solution de considérer que ta formule est justement la définition de l'exponentielle d'un complexe imaginaire pur. Pourquoi ? parce que ça marche (c'est un peu ainsi que ça a été découvert, ça "fait marcher les calculs"). Exactement comme (c'est ce qu'on présente au lycée) l'exponentielle d'un réel permet de généraliser les calculs de puissance, et justement exp(x) = e^x donne un calcul "qui marche" et qui permet de définir, pour a>0, a^x par la formule a^x =exp(x ln(a)).
De la même façon, ta formule permet de définir l'exponentielle d'un complexe (donc e à l'exposant ce complexe) et "ça marche". Bien sûr, il faut vérifier toutes les formules habituelles des puissances de nombres strictement positifs pour en être sûr.
Mais la raison profonde est dans la possibilité de définir e^z où z est un complexe quelconque par les séries.

Cordialement.

[MaksFt]

Merci à tous pour vos réponses,

Si je ne me trompe pas, une série c'est une somme du type avec , ?
Si oui, c'est en effet une bonne façon d'assimiler la chose !
En plus j'avais toujours dans la tête l'idée "intuitive", comme le dit Linkounet, du "x multiplié y fois par lui-même" .

Enfin je pense avoir compris : en gros est une notation qui définit l'exponentielle d'un imaginaire pur à partir des fonctions trigos, et dont la valeur peut être approchée par la convergence d'une série.

[Médiat]

Enfin je pense avoir compris : en gros est une notation qui définit l'exponentielle d'un imaginaire pur à partir des fonctions trigos, et dont la valeur peut être approchée par la convergence d'une série.

Bonjour,
Il est plus juste de considérer que l'exponentielle de"n'importe quoi" (même une matrice, comme l'a rappelé Bruno) comme la limite d'une série entière, ce qui permet de démontrer facilement le résultat trigonométrique.

[MaksFt]

Parfait, merci à tous pour votre aide !