Coefficients Binomiaux

[invite46e41aed]

Bonsoir,
j'ai une question qui peut paraître idiote, mais l'exercice suivant : Pour n et p fixés,, résoudre l'équation d'inconnue :
Mes solutions seraient x=p ou x=n-p tout simplement. Est-ce vraiment aussi simple?
Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement, Arthur.
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[Bruno]

Salut,

Si tu n'es pas certain, un dessin de la fonction f(x)=n!/(x!(n-x)!) pour n fixé ne serait pas inutile.

[invitecbade190]

est définie sur , non ?
Sinon, on peut bien voir que .

[Bruno]

est définie sur , non ?

Pas nécessairement, on peut prolonger la factorielle sur par la fonction gamma d'Euler.

Sinon, on peut bien voir que .

Oui, mais cette solution est-elle unique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite46e41aed]

Pas nécessairement, on peut prolonger la factorielle sur par la fonction gamma d'Euler.

Merci pour vos réponses, par contre je ne jamais entendu parler de la fonction gamma d'euler, ce qui me fait penser qu'elle n'est peut être pas au programme (MPSI). Serait-il possible de résoudre l'exercice proprement avec des outils plus simples ?

[Bruno]

La fonction gamma c'est juste une façon commode de relier de façon continue les points entre deux entiers, mais tu n'en a pas besoin. Il y a peut être une façon d'y arriver par manipulations algébriques mais l'approche graphique me semble la plus facile.

[invite46e41aed]

Merci beaucoup pour tes réponses

[gg0]

Nowotny,

une preuve plus "mathématique" est de montrer que la fonction pour n donné est strictement croissante de 0 à n/2 (pour n pair) ou de 0 à (n-1)/2 (pour n impair). Donc il ne peut y avoir qu'une seule valeur qui convient sur cet intervalle, et par symétrie, une seule sur le reste des valeurs.
Cela se fait très bien en exprimant en fonction de .

Cordialement.

[invite46e41aed]

Merci beaucoup