Modèles non-standard de l'arithmétique

[invite234bc7a5]

Bonjour
J'aimerais savoir qui et en quelle année a découvert l'existence des modèles non-standards de l'arithmétique. Je pose cette question
car si le premier théorème d'incomplétude de Gôdel rend évidente leur existence, on pouvait prouver celle-ci avant, notamment avec le
théorème de compacité. Mais quelqu'un l'avait-il fait?

Puisque c'est ma première intervention sur ce forum j'en profite pour demander si ce genre de sujet a sa place sur le forum Mathématiques
car il y a un forum Epistémologie et Logique (mais il m'a semblé plus tourné vers les questions philosophiques que vers les questions techni-
ques).
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[invite234bc7a5]

Pardon pour l'orthographe ( arithmétique; Epistémologie) et la mise en page. C'est vrai que c'est pas malin de faire une faute pareille dans le titre...

[Médiat]

Bonjour,

J'ai corrigé votre titre et Epistémologie.

La notion de Modèle non standard date de 1934 (3 ans après le théorème d'incomplétude de Gödel) grace aux travaux de Thoralf Skolem.

Pour montrer l'existence de tels modèles, on peut utiliser :

1. Le théorème de Löwenheim-Skolem (qui permet d'affirmer qu'il existe des modèles non-dénombrables) (1936 pour la version complète)
2. La non complétude de l'axiomatique de Peano (impliquée par le théorème d'incomplétude de Gödel, mais celui-ci n'est pas nécessaire)
3. Le théorème de compacité (la manière la plus élégante, selon moi) 1930 pour sa version dénombrable et 1936 pour la verson complète.

[invite234bc7a5]

Bonjour,

Merci beaucoup pour ces réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite234bc7a5]

Je suppose donc qu'il était techniquement possible de démontrer le résultat avant 1934, et même avant 1931, mais que c'est la notion même
de modèle qui demandait à être prise en considération.

[Médiat]

Absolument, vous avez parfaitement raison.

Puis-je vous demander l'origine de votre întérêt pour ces questions (pour ma part je me suis intéressé à la théorie des modèles à partir de 1972 )

[invite234bc7a5]

En réponse à votre question:

Bertrand Russell a été mon idole pendant mon adolescence, au début plus pour des raisons philosophiques que mathématiques; j'ai gardé longtemps le projet de lire les Principia Mathematica, et j'ai fini récemment par ma lancer dans la lecture, avec difficulté. Je me dis que je devrais probablement remonter un peu plus loin en arrière et commencer par Frege.

Je me suis beaucoup interrogé sur les questions de Logique pendant mes études, par exemple j'ai été choqué de voir que Bourbaki utilisait les démonstrations par l'absurde dès les premières pages de sa Théorie des Ensembles, ce qui, vu qu'on ne sait pas (du moins au début, mais même semble-t-il par la suite) si la théorie qu'on en en train d'élaborer est non contradictoire ou pas, me semblait très peu "constructif".(Je pensais que, même si la théorie qu'on mettait en place devait en fin de compte être contradictoire, on commettait un erreur plus grave, dans l'esprit, en utilisant les démonstrations par l'absurde à l'intérieur de celle-ci qu'en s'abstenant de le faire, et qu'on devait par conséquent ne le faire que le plus tard possible).

[gg0]

Bonjour Idomeneo.

A propos des preuves "par l'absurde" (qui ne sont le plus souvent qu'une présentation simplifiée d'une preuve par contraposition) : Comme on est bien incapables de prouver la non contradiction des théories mathématiques "utiles", utiliser des preuves comme celles-ci au début ou seulement plus tard ne change rien !

Cordialement.

[Médiat]

Bonsoir,

Si vous voulez avoir une démarche historique (Je suis toujours fan de Russell, y compris pour des raisons philosophiques) remonter à Frege est indispensable.

Pour la théorie des ensembles, j'ai été l'étudiant de Krivine, donc (je connais ses qualités) je conseille son livre.

Je vous confirme que l'on ne sait pas si ZF est contradictoire ou non.

Par contre je ne comprends pas votre objection sur le raisonnement par l'absurde (ZFC permet de démontrer la validité du tiers exclu donc du raisonnement par l'absurde)

[invite234bc7a5]

(suite de ma réponse):

Mais mon intérêt pour la Logique a décuplé ces dernières années (ou plutôt j'ai décidé de m'y mettre "à fond") en raison de circonstances bien particulières. A l'Université de *** (je vous indique les références en privé) j'ai assisté à des conférences et partipé à un groupe de discussions sur la Physique, au cours desquelles des sujets Philosophiques ou Mathématiques étaient souvent abordés. Le Professeur (de Physique) nous a, par deux fois, exposé que la non démontrabilité de l'axiome des parallèles à partir des autres axiomes d'Euclide serait une illustration du théorème de Gödel.
J'ai essayé, chaque fois, de lui dire que ça n'allait pas et de lui expliquer ce que seraient de vraies illustrations du premier théorème d'incomplétude, mais il a refusé de m'écouter (comme d'ailleurs sur de nombreux autres sujets). Je me suis ainsi trouvé tragiquement isolé au sein du groupe, dans lequel de nombreux participants sont de fervents admirateurs de ce Professeur, qui a par ailleurs de grandes qualités. Je garde d'ailleurs de l'estime pour lui et suis très affecté et très déprimé par ce refus du dialogue, que j'attribue à des questions d'amour propre et de peur de se trouver "pris en défaut".
Alors je me suis dit que la seule solution pour établir un dialogue était que je rédige un texte écrit sur la question. Mais vu les circonstances, je ne pouvais pas me contenter d'expliquer ce que ne disait pas Gödel; il fallait, sans raconter de bêtises, que j'essaye d'abord de comprendre et ensuite d'expliquer ce qu'il disait vraiment, ce qui est considérablement plus difficile. Je me suis donc trouvé au pied du mur.
Maintenant, après une longue période de reflexion, je pense être en mesure, dans les semaines ou les mois qui viennent, de rédiger enfin un texte qui soit satisfaisant. Mais il me reste encore quelques détails à régler, notamment la question de l'utilisation possible des langages d'ordre supérieur, alors que dans de nombreux ouvrages seuls les langages du premier ordre sont pris en considération.
Bien sûr la Logique continue de m'intéresser prioritairement pour elle-même, et j'espère avoir le plaisir de nombreuses discussions sur ce forum.

[Médiat]

Le Professeur (de Physique) nous a, par deux fois, exposé que la non démontrabilité de l'axiome des parallèles à partir des autres axiomes d'Euclide serait une illustration du théorème de Gödel.

Honnêtement, je ne vois pas ce que viens faire Gödel là dedans.

Maintenant, après une longue période de reflexion, je pense être en mesure, dans les semaines ou les mois qui viennent, de rédiger enfin un texte qui soit satisfaisant.

Je me permets de vous envoyer là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958163, où vous trouverez une démonstration simplifiée, mais où les difficultés ne sont pas cachées.

Mais il me reste encore quelques détails à régler, notamment la question de l'utilisation possible des langages d'ordre supérieur, alors que dans de nombreux ouvrages seuls les langages du premier ordre sont pris en considération.

Les langages d'ordres supérieurs sont très différents, par exemple au deuxième, pas de théorème de complétude, pas de théorème de Löwenheim-Skolem, etc. de plus Peano avec la récurrence du deuxième ordre n'a qu'un seul modèle, donc la question de l'incomplétude ne se pose pas.

Bien sûr la Logique continue de m'intéresser prioritairement pour elle-même, et j'espère avoir le plaisir de nombreuses discussions sur ce forum.

Je m'en lèche les babines d'avances

[invite234bc7a5]

Pour Mediat:

- j'ai le livre de Krivine "Théorie axiomatique des ensembles" (PUF) mais il en a écrit d'autres; auquel faites-vous allusion?

- concernant les langages d'ordre supérieur, plusieurs théorèmes de limitation célèbres sont établis pour la Logique du premier ordre; se pose alors la question de savoir si on peut "passer par dessus" les inconvénients pratiques de ces limitations en utilisant un langage d'ordre supérieur. Je suppose que la réponse est non, sinon ces théorèmes ne seraient pas si célèbres. J'ai en partie compris pourquoi mais
pas totalement.
Par exemple on lit parfois que le théorème de Lowenheim-Skolem a porté un coup au moral des enthousiastes de la formalisation, en montrant une limitation de celle-ci: en effet on ne peut pas formaliser les nombres réels (par exemple) de maniére satisfaisante au premier ordre puisqu'on aura des modèles de cardinaux différents. Mais dans les mathématiques "usuelles" on utilise des axiomes du second ordre qui définissent IR de manière unique (à un isomorphisme près). Alors c'est embêtant à cause de l'incomplétude du second ordre, ou y a-t-il aussi d'autres inconvénients?

[gg0]

Idomeneo,

" la non démontrabilité de l'axiome des parallèles à partir des autres axiomes d'Euclide" est un résultat classique, obtenu dès le dix-neuvième siècle par un modèle de la géométrie de Lobatchevsky dans la géométrie euclidienne. Il n'y a effectivement rien à voir avec le théorème de Gödel, arrivé plus de 50 ans après. Pour "dévisser" l'affirmation de ton prof, nul besoin de décoder la logique, les maths "classiques" (ceux d'Euclide, justement) suffisent.

Cordialement.

[Médiat]

- j'ai le livre de Krivine "Théorie axiomatique des ensembles" (PUF) mais il en a écrit d'autres; auquel faites-vous allusion?

Le même aux éditions Cassini qui est plus récent (j'ai celui des PUF qui date de 72).

concernant les langages d'ordre supérieur, plusieurs théorèmes de limitation célèbres sont établis pour la Logique du premier ordre; se pose alors la question de savoir si on peut "passer par dessus" les inconvénients pratiques de ces limitations en utilisant un langage d'ordre supérieur. Je suppose que la réponse est non, sinon ces théorèmes ne seraient pas si célèbres. J'ai en partie compris pourquoi maispas totalement.

Si, on peut, mais a un certain coût (perdre le théorème de complétude de Gödel me paraît très gênant).

Par exemple on lit parfois que le théorème de Lowenheim-Skolem a porté un coup au moral des enthousiastes de la formalisation, en montrant une limitation de celle-ci: en effet on ne peut pas formaliser les nombres réels (par exemple) de maniére satisfaisante au premier ordre puisqu'on aura des modèles de cardinaux différents. Mais dans les mathématiques "usuelles" on utilise des axiomes du second ordre qui définissent IR de manière unique (à un isomorphisme près). Alors c'est embêtant à cause de l'incomplétude du second ordre, ou y a-t-il aussi d'autres inconvénients?

Je suis un enthousiaste de la formalisation, et je tiens le théorème de Löwenheim-Skolem pour une excellente nouvelle .

En fait les mathématiciens n'ont pas vraiment le choix : utiliser des formules qui ne sont pas du 1er ordre (axiome d'Archimède, par exemple) (choix des mathématiciens "normaux"), ou travailler dans ZF, ce dernier choix est généralement celui des logiciens

[invite234bc7a5]

Pour Médiat et gg0:

Concernant Bourbaki et les démonstrations qu'on peut faire au tout début de la théorie des ensembles, ces démonstrations servent généralement à prouver l'existence d'objets qu'on va ensuite assembler comme un jeu de construction. L'un des aspects de l'idée que j'ai essayé de développer est alors le suivant: même si à première vue on peut penser que deux théories contradictoires se valent forcément puisqu'elles valent zéro, en fait ce n'est pas vrai du tout. L'une peut être bien meilleure que l'autre car il y a moins de modifications à faire pour la rendre correcte, il suffit par exemple d'ajouter un axiome pour empêcher l'apparition d'un paradoxe que l'on vient de constater. Alors qu'une autre a été mal construite et ne pourra pas être sauvée. C'est en ce sens, gg0, que faire quelque chose au début ou plus tard ne revient pas forcément au même.
Mais je ne me focalise pas sur la démonstration par l'absurde, c'est seulement ce qui apparaissait dans le contexte.

[gg0]

L'une peut être bien meilleure que l'autre car il y a moins de modifications à faire pour la rendre correcte, il suffit par exemple d'ajouter un axiome pour empêcher l'apparition d'un paradoxe que l'on vient de constater.

C'est une vision très réductrice de l'activité mathématique ! Et les logiciens seraient heureux de pouvoir faire ce que tu proposes (pouvoir rendre cohérente une théorie par l'ajout d'un axiome. ou décider "logiquement" qu'une théorie est "insauvable").
Pour en revenir à Bourbaki, la logique (celle des logiciens) n'est pas leur souci (comme 99% des mathématiciens). Ils se contentent de ce qui "marche bien" pour faire des maths (tant que "ça marche"). Donc leur reprocher d'utiliser un outil logique qui fait partie de l'arsenal classique est hors sujet.

Cordialement.

NB : Trop de pureté sur les fondements tue la construction.

[invite234bc7a5]

Je ne suis pas du tout d'accord sur l'aspect réducteur dont tu parles. Historiquement plusieurs axiomes de ZF ont été introduits pour éviter certains paradoxes, à commencer par le paradoxe de Russell. Par ailleurs beaucoup de mathématiciens estiment qu'il n'est pas trop grave d'utiliser des théories des ensembles qui pourraient se révéler contradictoires, parce qu'ils pensent, justement en se basant sur les exemples historiques, que si un jour une contradiction apparaissait, on pourrait y remédier en changeant peu de choses; de sorte qu'il y a peu de risques que le travail qui a été fait avant se révèle inutile. Si on estime que par exemple 99,99 % de ce qui a été fait restera valable si on est un jour obligé de changer quelque chose, c'est mieux que si c'est 80% ou 50%.
Tu remarquera que je parle ici de théories "communes" des ensembles (utilisées par tout le monde) destinées à servir pour des dizaines voire des centaines d'années, donc une certaine "solidité" est souhaitable. Mais cela n'empêche pas par ailleurs de créer de nouvelles théories avec toutes les idées qu'on veut de toutes les manières qu'on veut.
Par ailleurs toutes les attitudes peuvent coexister. Il y a des mathématiciens qui ne se préoccupent pas du tout de logique, d'autres qui s'en préoccupent, avec toutes les nuances entre les deux. Il y en a qui sont à la fois mathématiciens et logiciens, voire aussi philosophes (alors que d'autres se fichent de la Philosophie).
D'autre part je ne "propose" rien du tout. Ce n'était que le début du début d'une réflexion, dont je n'aurais jamais parlé si Médiat ne m'avait pas demandé pour quelles raisons je m'était intéressé à la Logique. J'ai dit, comme exemple parmi d'autres, que j'avais trouvé insatisfaisant le livre "Logique et Théorie des ensembles" de Bourbaki. D'où la nécessité de voir ce qu'il y avait ailleurs.

De façon plus générale concernant la discussion, je préfère éviter la polémique, car il est absolument impossible d'exprimer d'un seul coup toute sa pensée avec toutes les nuances qu'on voudraient y mettre, il vaut donc mieux au moins un certain temps accorder le "bénéfice du doute" à son interlocuteur.

Bien cordialement.

[gg0]

Je ne cherche pas à polémiquer, seulement exprimer ma surprise.
Surtout parce que pour l'essentiel des mathématiciens (*) ces questions de fondements n'ont aucune importance pour leur pratique professionnelle : Tant qu'on ne prouve pas avec ZF que 1=0.
mais je comprends qu'on puisse trouver ça passionnant. j'ai été à une époque passionné par l'épistémologie, qui pose d'ailleurs des questions bien plus embêtantes que les axiomatiques (surtout parce qu'il n'existe aucun moyen de choisir entre les réponses). Donc poursuis ta réflexion ...

Cordialement.

(*) Oui, bien sûr, certains étudient les fondements, souvent même très indépendemment de leurs recherches. mais ça ne remt pas en cause leur pratique, bien éloignée de ces questions.

[Médiat]

Bonsoir gg0,

Vous serez peut-être intéressé par ce fil : http://forums.futura-sciences.com/ep...ensembles.html

[invite234bc7a5]

gg0,

Il faudrait que je retrouve les références, mais je peux te dire que j'ai vu de nombreux articles où des mathématiciens (dont certains très importants, et de la période disons 1970 à aujourd'hui) non seulement se souciaient de la logique mais montraient même qu'au point où ils étaient arrivés de leur travaux, il n'était plus possible de séparer les deux disciplines, c'est à dire que toute nouvelle vision dans l'une avait des répercussions dans l'autre et inversement.
Et puisque tu parles de surprise, je vais peut-être te surprendre encore plus en te disant qui il y des travaux de physiciens qui considèrent qu'à partir d'un certain niveau il y a une convergence entre une partie au moins de la Physique et la Logique, et qui parlent par exemple de décidabilité ou indécidabilité de la Mécanique Quantique (et ça va même encore bien plus loin que ça, c'est hallucinant!).
Je peux essayer de retrouver des références mais tu peux en trouver aussi sur Google en n'hésitant pas à mélanger certains termes.

Ce n'est d'ailleurs pas si étonnant qu'il y ait convergence entre des disciplines dont la séparation n'a pas toujours existé dans le passé et a quelque chose d'un peu artificiel.


Je vais lire le texte que nous signale Médiat.

Bonne soirée.

[gg0]

Médiat

merci pour la référence. J'ai lu les premières pages, puis j'ai laissé tomber quand les incompréhensions de mots sont devenues dominante. C'est dommage que ça apparaisse aussi souvent sur ce genre de sujets. Je pense qu'il y a une part de rêve chez certains qui voudraient bien .. ce qui fait qu'ils ne lisent que ce qu'ils veulent comprendre, pas ce qui est écrit.

Idomeneo :

Ce que tu dis est vrai. je n'ai jamais dit le contraire, relis mes messages. Pour les physiciens, je savais depuis longtemps.

Cordialement.

[invite234bc7a5]

Bonsoir Médiat,

J'ai regardé moi aussi la file que tu as indiqué. Les questions posées sont très intéressantes, j'ai assez envie d'en discuter mais après avoir d'abord bien réfléchi.

Par ailleurs j'ai des questions à poser sur la théorie des modèles mais j'envisage d'ouvrir très prochainement une discussion dédiée au sujet. J'envisage aussi d'ouvrir une ou plusieurs files sur le premier théorème d'incomplétude de Gödel (plusieurs pour parler dans chacune d'un aspect aussi précis que possible, mais je n'ai pas encore décidé de tous les détails).

Pour en revenir au sujet initial de cette discussion, je souhaiterais poser deux questions:

- est-ce que les modèles non standard de l'arithmétique on des "utilisations" possibles (autres qu'épistémologiques)?

- peut-on "visualiser" les modèles standard (par exemple sous forme d'ensembles ordonnés)?

[invite234bc7a5]

je voulais dire bien sûr visualiser les modèles non-standard

[Médiat]

- est-ce que les modèles non standard de l'arithmétique on des "utilisations" possibles (autres qu'épistémologiques)?

Je ne sais pas exactement ce que vous entendez par "utilisations", en tout état de cause, je ne connais pas d'utilisation de modèles non-standard hors de la logique.

- peut-on "visualiser" les modèles standard (par exemple sous forme d'ensembles ordonnés)?

Je ne peux que vous renvoyer vers http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958163, où vous verrez que l'on connaît bien le type d'ordre des modèles non-standard, mais aussi qu'il n'est pas possible d'aller plus loin, l'addition et la multiplication ne pouvant être toutes deux récursives

[Médiat]

Bonjour,

Sur les modèles non-standard, vous pouvez aussi regarder ce fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...lle-peano.html