Polynomes

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

Qu'est ce qui empêche que le Polynôme suivant : soit réductible, alors qu'un autre de même type : Par exemple : est réductible ? Les deux polynômes appartiennent à la même famille de polynômes se mettant sous la forme : .

Merci d'avance.
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[ansset]

Bonsoir à tous,

Qu'est ce qui empêche que le Polynôme suivant : soit réductible, alors qu'un autre de même type : Par exemple : est réductible ? Les deux polynômes appartiennent à la même famille de polynômes se mettant sous la forme : .

Merci d'avance.

je ne comprend pas la question !?
et pourquoi x²+x+1 n'a pas de racines dans les réels ?

[invitecbade190]

Bonjour "ansset" :
La réponse que je recherche, c'est dire, par exemple, " si il y'avait [...] ( C'est à dire, une condition nécessaire ou suffisante ), alors serait réductible. ce qui n'est pas le cas pour ce polynôme.
n'a pas de racines dans les réels parce que son discriminant est négatif.
Merci d'avance.

[Seirios]

Bonjour,

Supposons que P(x,y,z) ne soit pas réductible. Alors on peut écrire P(x,y,z)=Q(x,y,z)R(x,y,z) avec Q et R non constants. Dans ce cas, pour l'une des variables, disons x, les degrés de Q et R valent 1. Autrement dit, pour y et z fixés, on peut trouver un x tel que P(x,y,z)=0. Or la seule racine de P est (0,0,0).

Cela répond-il à ta question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Même dans C, x²+y²+y² ne peut pas se mettre sous forme de produit de polynômes de degré 1 (ce qui n'est qu'un cas particulier de décomposition en facteurs).

En effet, ce serait de la forme (ax+by+cz)(x/a+y/b+z/c), a, b et c non nuls ; et on aurait alors dans C ou R a²=-b², b²=-c² et c²=-a² ce qui n'est pas possible.

Faut aller dans les quaternions, -(ix+jy+kz)²=x²+y²+z² (et bien d'autres solutions...)