Calculs de déterminants

[invite705d0470]

Bonjour, je sais que vous n'êtes pas ici pour faire les exercices à la place d'un autre, mais je me remets doucement aux maths pdt ces vacances, et j'ai encore du mal avec certains calculs de déterminants (pourtant simples, mais je sais pas, j'ai plus l'efficacité ...).
Pourriez vous me guider (calculs élémentaires sur les lignes et colonnes à effectuer, ou juste le résultat au pire).
Je remercie d'avance ceux qui vont m'aider, parce que celà n'a rien d'intéressant au niveau du contenu mathématique: c'est juste du calcul !

1: matrice de coefficients , soit
J'ai voulu agir sur les colonnes avec pour obtenir . Puis j'ai de nouveau effectué en concervant les deux dernières colonnes: je trouve . Bref, en développant suivant la première ligne je trouve un déterminant de la forme , mais en pratique, ce n'est pas ça ... :/

Ensuite, il y a le (supposé) simplissime , et j'ai un peu honte d'avouer que je ne le retrouve pas !!
J'essaie de trouver une relation de récurrence juste en effectuant mais j'obtiens au final avec

Enfin, comment calculer le déterminant de ? Je voudrais ne pas briser la symétrie, mais ... :/
Des astuces ?

merci d'avance,

Snowey
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[invite9617f995]

Une méthode possible pour le deuxième et le troisième. J désignera la matrice composée uniquement de 1.

2) La matrice B considérée est égal à J-I. Si on considère le polynôme caractéristique de J, on a . Reste à trouver les valeurs propres de J et leur multiplicité pour conclure (assez facile).

3) Je note C la matrice et note P(X) le polynôme det(A-XJ). En soustrayant la première colonne de A-XJ aux n-1 autres et en développant, que peut-on dire sur le degré de P. Combien alors faut-il de couple (y,P(y)) pour déterminer entièrement P ? Je te laisse déterminer quels y il faut choisir. Reste ensuite à calculer det(C)=P(0).

Je réfléchis pour la première.
Silk

[invite9617f995]

Hmm après quelques calcul à partir de l'expression que tu as déjà obtenu du premier déterminant, j'obtiens (-1)^n-1(n-1)2^n-2. Attention à ne pas oublier les - dans la formule de développement du déterminant.

[invite705d0470]

D'accord, silk78.
Merci beaucoup, pour la 1 j'ai en effet oublié les signes !!!
Pour le second déterminant, je dois donc chercher et l'évaluer en 1... Comme je n'ai pas beaucoup utilisé les polynômes caractéristiques, je n'y aurais pas pensé, c'est dommage !
Par contre, si j'associe l'endomorphisme f à J je trouve que: et .
Donc P est un polynôme de coefficient dominant 1, de degré n ayant deux racines, 0 (de multiplicité n-1) et 1-n. Alors je trouve que .
On devrait alors avoir ?

Pour le 3, je réfléchis

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Je crois que tu t'es un peux mélangé entre J et J-I. En remettant tout cela dans l'ordre : tu as trouvé que J-I avait pour valeurs propres -1 avec multiplicité n-1 et n-1 avec multiplicité 1. Par conséquent le déterminant de J-I vaut nécessairement .