Questions maths sup

[inviteab10635e]

Bonjour, voilà j'ai un dm à faire pour la rentrée et je bloque à certaines questions: Je dois montrer qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au singleton {0} , je ne vois pas comment faire , j'ai essayé de partir du fait que l'application était injective sans résultat, si vous avez une piste pour m'amorcer je prends.

Mon deuxième soucis concerne un petit exo avec les matrices , on a comme matrice
M=(1 1 2 0)
(2 -1 1 3)
(1 0 1 1)
(0 1 1 -1)
j'ai trouvé 2 pour le rang de M je ne sais pas si c'est correct et on me demande ensuite de donner une base de Ke et Im(M) ce que je n'ai jamais fais.
Si vous pouvez me donner des pistes ce serait vraiment gentil, merci d'avance.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Bonjour, voilà j'ai un dm à faire pour la rentrée et je bloque à certaines questions: Je dois montrer qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au singleton {0} , je ne vois pas comment faire , j'ai essayé de partir du fait que l'application était injective sans résultat, si vous avez une piste pour m'amorcer je prends.

Supposons f injective, ce qui se traduit par : f(x)=f(y) => x=y

Par définition, Ker f = {x / f(x)=0}
Ici il faut utiliser la propriété suivante : Si f est linéaire alors f(0)=0.

Donc : Ker f = {x / f(x)=f(0) }

Je te laisse conclure en utlisant l'injectivité de f.

Pour la récipoque :
Supposons Ker f = {0}, ce qui se traduit par : f(x)=0 => x=0

Supposons f(x)=f(y).
Donc f(x)-f(y)=0

Tu utilises la linéarité de f et la traduction du fait que le noyau = {0} (cf. plus haut) et tu montres ainsi que x=y

[inviteab10635e]

merci des infos , je vais essayer ça tout de suite, une idée pour ce qui concerne les matrices ?

[gg0]

Pour ta matrice,

si tu t'es trompé sur le rang, ça va tout de suite apparaître (c'est le nombre d'éléments de la base de Im f).
Pour une base de ker(M), il te suffit de poser MX=0 où X est un quadruplet de réels. Tu vas trouver une condition que tu ramènera à une combinaison linéaire de 2 (*) quadruplets. Ils sont (je te laisse voir pourquoi) une base de ker(M). Pour Im(M), c'est encore plus simple : la matrice te donne une partie génératrice de Im(M). Comme Im(M) est de dimension 2 (*), deux de ces vecteurs (quadruplets) sont des combinaisons linéaires des deux autres.

Cordialement.

(*) Si tu ne t'es pas trompé pour le rang.

[A voir en vidéo sur Futura]