Fonctions

[inviteb91a7798]

bonjour je bloque sur un exercice , voila l'énoncé

pour tout x appartenant à IR+, Pn(x)=somme de k=1 à 2n pour ((-1)^k* x^k) / k
1) étude de variations et tableau de variations
j'ai trouvé que Pn'(x)= (x^2n - 1) / (x+1)
puisque x+1>0 alors Pn' dépend du signe de (x^2n - 1 ) or x^2n -1 = (x^2-1)^n donc Pn' s'annule en zéro
et Pn'>O
donc Pn' croissant
en fait je ne sais pas si mon raisonnement est correcte...

2) prouver que pour tout n appartenant à N* Pn(1)<0
3) vérifier que pour tout n appartenant à IN* et pour tout IR appartenant à R+ , Pn+1(x)= Pn(x)+ x^(2n+1)* (x/(2n+2) - 1/(2n+1) )
en déduire alors que pour tout n appartenant à N*, Pn(2)> ou égale à O
4) montrer que pour tout n de N*, Pn(x)=0 admet une unique solution Xn sur (1;+oo( et que 1<Xn<ou égale2
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[gg0]

Bonjour.

"x^2n -1 = (x^2-1)^n"
Tu es sûr ? essaie pour n=2 et x=3.

"donc Pn' s'annule en zéro " ???

manifestement, tu es mal réveillé ! Combien vaut P'n(1) ?

Allez, reprends ton calcul, en faisant attention (*).

Cordialement.

(*) même ton message est écrit sans faire attention : "somme de k=1 à 2n pour ..". le de et le pour sont inversés !

[inviteb91a7798]

P'(1)= (1^(2n) -1) /2 = 0 ?

donc Pn'(x) s'annule en x=1 ?

et alors Pn est décroissant sur (O;1) et croissant sur (1;+oo) ?

[gg0]

Il serait peut-être bon de faire sérieusement la recherche du signe de la dérivée. Car rien ne dit qu'elle ne s'annule pas ailleurs...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb91a7798]

je ne vois pas comment on peut étudier autrement le signe de la dérivée.... J'ai toujours appris à faire comme ça...

[gg0]

Eh bien tu n'as donc pas appris sérieusement.

Allons donc, trouver le signe de sur ne pose aucune difficulté, car tu connais le sens de variation des fonctions puissance.

Cordialement.

[inviteb91a7798]

oui donc x^2n est strictement positif
donc Pn aussi non?

[inviteb91a7798]

pardon je voulais dire strictement croissante sur IR+

[gg0]

Tu as une fonction strictement croissante et nulle pour x=1. Qu'en déduis-tu pour son signe ? En utilisant la définition de "strictement croissante", bien sûr.

Cordialement.

NB : En maths, toute affirmation non justifiée est perdue : juste ou fausse, elle ne sert pas, puisque ce qu'on veut c'est être sûr, pas faire confiance à celui qui dit.