Dérivée de fonction inverse

[invite71e1c619]

Bonsoir.
Je suis confrontée à une dérivée que je n'arrive pas à comprendre





J'aimerais savoir quelles sont les étapes pour arriver à ce résultat
Merci
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[Bruno]

Bonsoir,

Exprimez u en fonction de x (ou x en fonction de u) et le tour est joué en calculant du/dx (ou dx/du).

[invite71e1c619]

J'ai déjà essayé un peu.



En sachant que la dérivée d'une fonction inverse

En calculant la dérivée de

j'obtiens

[Bruno]

En sachant que la dérivée d'une fonction inverse

C'est faux si vous prenez y=1/x comme exemple, vous devriez revoir les règles d'opération sur les dérivées. Vous êtes bien parti en écrivant le arccos, que donne x'(u) = dx/du ? La dérivée d'un arccos ne fait intervenir aucune fonction trigonométrique.

NB: ne pas confondre inverse et réciproque d'une fonction

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite71e1c619]

Je sais que


mais je ne vois pas comment l'utiliser avec ma fraction

[Bruno]

Que vaut ? Et ? Le "prim" sous-entend bien sur qu'on dérive par rapport à la variable u.

[invite71e1c619]

et

non ?

[Bruno]

Exactement, maintenant vois-tu ce que représentent les fonctions f et g dans ton exercice ?

[invite71e1c619]

La fonction f est l'arccosinus et g est u ?
Je suis désolée c'est sûrement tout bête

[Bruno]

La fonction f est l'arccosinus et g est u ?

Ce serait le cas si on avait arccos(u), ici g(u) est un peu plus compliquée que g(u)=u. Lorsque tu écris f(g(u)), tu identifies g(u) à tout ce qu'il y a encore les parenthèses (l'argument) de f. Donc si f=arccos... ?

[invite71e1c619]

g(u) serait

[Bruno]

Pourquoi "serait", tu n'en es pas convaincu ?

[invite71e1c619]

Si mais en effectuant je n'arrive pas vraiment à

[Bruno]

Je n'ai pas de boule de crystal, détaille ton calcul et on verra s'il s'agit d'une simple distraction ou d'autre chose.

[invite71e1c619]

En développant



j'arrive à



je me suis très embrouillée et j'ai du faire n'importe quoi...

[Bruno]

Tu as écrit plus haut , mais tu sembles avoir calculé .

[invite71e1c619]

Non ?

[Bruno]

Ok, je vois: quand on écrit f'(g(u)) ça signifie la dérivée de f(x) évaluée en x=g(u), càd qu'on remplace les x de par g(u), et non f'(u) multipliée par g(u) qui s'écrirait f'(u)g(u).

[invite71e1c619]

Oula oui! J'ai oublié les bases...

Donc

?





et je ne vois pas pour la suite.

[Bruno]

Regarde ton dénominateur, tu as une forme du type (a-b)(a+b) que tu peux transformer en a²-b².

[invite71e1c619]

Et la suite de mon calcul tourne en rond...
(je vous remercie vraiment pour votre patience)

[Bruno]

Tu as une erreur dans ta fonction de départ, un carré s'est perdu en remplaçant par g(u) :



Comme ça fait pas mal de calculs, simplifie d'abord le facteur de gauche :



J'ai utilisé la relation a²-b² = (a+b)*(a-b) pour simplifier l'argument de la racine au dénominateur. Je te laisse simplifier le second facteur, ça devrait aller.

[invite71e1c619]

Effectivement avec le carré ça va mieu.

J'obtiens



Ce qui donne

[gg0]

Bonsoir.

Je viens de reprendre la question du départ.

En posant on voit (formules "en t" que et donc que où k est un entier quelconque.
On a donc , et en dérivant u :

Finalement

Mais il n'y a pas de raison de choisir entre + et -, d'ailleurs on peut changer le signe de u dans sans changer x. A moins qu'il y ait un lien entre x et u que Lennou n'a pas donné. Par exemple que x et u, localement, varient dans le même sens.

Cordialement.

[Bruno]

Et comme

Et que vous venez de calculer dx/du, il ne reste plus qu'à faire passer le du dans l'autre membre (on peut, même si ça n'a aucun sens).

[invite71e1c619]

Et comme

Merci énormément ! J'ai tout très bien compris grâce à vous

En posant on voit (formules "en t" que et donc que où k est un entier quelconque.

Merci, cette méthode me semble beaucoup plus rapide mais je n'y aurai jamais pensé (et je ne crois pas que j'y penserai en examen )

Et sinon pour les informations sur les liens entre x et u je n'en ai pas.

Mon exercice consistait à calculer en effectuant une substitution babylonienne, d'ou ma question pour .

[invite4793db90]

Salut,

les expressions des sinus et cosinus en fonction de la tangente de l'angle moitié rendent de nombreux services (pour le calcul d'intégrales comme ici, la paramétrisation rationnelle du cercle, et en de nombeux autres endroits). Elles devraient faire partie du kit de survie de tout étudiant en sciences (d'autant qu'il n'est pas nécessaire de les apprendre si l'on garde bien en tête que 1 = sin²+cos²).

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Une remarques sur la méthode de Bruno :
D'abord, rien ne permet de dire que x est un arccos (*). Comme il ne l'est que s'il est entre 0 et Pi, il ne l'est généralement pas, pas même à 2Pi près. A priori, à 2Pi près il vaut soit arccos (..) soit son opposé. D'où la différence de résultat avec ma méthode.
Bien évidement, si on sait que x est entre 0 et Pi, alors ma méthode devient encore plus simple, puisque on n'a pas besoin de y qui est par construction x.

Je n'ai pas suivi le détail du calcul, mais il y a un souci avec une valeur absolue, non ?

Cordialement.

(*) y=cos(x) n'implique absolument pas x=arccos(y). Prendre par exemple x=200 (radians).

[Bruno]

Je ne vois pas où est le problème, |1+u²|=1+u² pour tout u et le but est bien de calculer . Or avec ce n'est plus une intégrale de Riemann, alors à quoi bon se compliquer la vie avec des outils de calcul peu utiles (sauf pour embêter les lycéens ) ?