Dérivée de fonction inverse
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Dérivée de fonction inverse



  1. #1
    Lennou

    Question Dérivée de fonction inverse


    ------

    Bonsoir.
    Je suis confrontée à une dérivée que je n'arrive pas à comprendre





    J'aimerais savoir quelles sont les étapes pour arriver à ce résultat
    Merci

    -----

  2. #2
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Bonsoir,

    Exprimez u en fonction de x (ou x en fonction de u) et le tour est joué en calculant du/dx (ou dx/du).

  3. #3
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    J'ai déjà essayé un peu.



    En sachant que la dérivée d'une fonction inverse

    En calculant la dérivée de

    j'obtiens


  4. #4
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Citation Envoyé par Lennou Voir le message
    En sachant que la dérivée d'une fonction inverse
    C'est faux si vous prenez y=1/x comme exemple, vous devriez revoir les règles d'opération sur les dérivées. Vous êtes bien parti en écrivant le arccos, que donne x'(u) = dx/du ? La dérivée d'un arccos ne fait intervenir aucune fonction trigonométrique.

    NB: ne pas confondre inverse et réciproque d'une fonction

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Je sais que


    mais je ne vois pas comment l'utiliser avec ma fraction

  7. #6
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Que vaut ? Et ? Le "prim" sous-entend bien sur qu'on dérive par rapport à la variable u.

  8. #7
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse


    et

    non ?

  9. #8
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Exactement, maintenant vois-tu ce que représentent les fonctions f et g dans ton exercice ?

  10. #9
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    La fonction f est l'arccosinus et g est u ?
    Je suis désolée c'est sûrement tout bête

  11. #10
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Citation Envoyé par Lennou Voir le message
    La fonction f est l'arccosinus et g est u ?
    Ce serait le cas si on avait arccos(u), ici g(u) est un peu plus compliquée que g(u)=u. Lorsque tu écris f(g(u)), tu identifies g(u) à tout ce qu'il y a encore les parenthèses (l'argument) de f. Donc si f=arccos... ?

  12. #11
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    g(u) serait

  13. #12
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Pourquoi "serait", tu n'en es pas convaincu ?

  14. #13
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Si mais en effectuant je n'arrive pas vraiment à

  15. #14
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Je n'ai pas de boule de crystal, détaille ton calcul et on verra s'il s'agit d'une simple distraction ou d'autre chose.

  16. #15
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    En développant



    j'arrive à



    je me suis très embrouillée et j'ai du faire n'importe quoi...

  17. #16
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Tu as écrit plus haut , mais tu sembles avoir calculé .

  18. #17
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse







    Non ?

  19. #18
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Ok, je vois: quand on écrit f'(g(u)) ça signifie la dérivée de f(x) évaluée en x=g(u), càd qu'on remplace les x de par g(u), et non f'(u) multipliée par g(u) qui s'écrirait f'(u)g(u).

  20. #19
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Oula oui! J'ai oublié les bases...

    Donc

    ?





    et je ne vois pas pour la suite.

  21. #20
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Regarde ton dénominateur, tu as une forme du type (a-b)(a+b) que tu peux transformer en a2-b2.

  22. #21
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse





    Et la suite de mon calcul tourne en rond...
    (je vous remercie vraiment pour votre patience)

  23. #22
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Tu as une erreur dans ta fonction de départ, un carré s'est perdu en remplaçant par g(u) :



    Comme ça fait pas mal de calculs, simplifie d'abord le facteur de gauche :



    J'ai utilisé la relation a2-b2 = (a+b)*(a-b) pour simplifier l'argument de la racine au dénominateur. Je te laisse simplifier le second facteur, ça devrait aller.

  24. #23
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Effectivement avec le carré ça va mieu.

    J'obtiens



    Ce qui donne

  25. #24
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Bonsoir.

    Je viens de reprendre la question du départ.

    En posant on voit (formules "en t" que et donc que où k est un entier quelconque.
    On a donc , et en dérivant u :

    Finalement

    Mais il n'y a pas de raison de choisir entre + et -, d'ailleurs on peut changer le signe de u dans sans changer x. A moins qu'il y ait un lien entre x et u que Lennou n'a pas donné. Par exemple que x et u, localement, varient dans le même sens.

    Cordialement.

  26. #25
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Et comme

    Et que vous venez de calculer dx/du, il ne reste plus qu'à faire passer le du dans l'autre membre (on peut, même si ça n'a aucun sens).

  27. #26
    Lennou

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Citation Envoyé par Bruno Voir le message
    Et comme
    Merci énormément ! J'ai tout très bien compris grâce à vous

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    En posant on voit (formules "en t" que et donc que où k est un entier quelconque.
    Merci, cette méthode me semble beaucoup plus rapide mais je n'y aurai jamais pensé (et je ne crois pas que j'y penserai en examen )

    Et sinon pour les informations sur les liens entre x et u je n'en ai pas.

    Mon exercice consistait à calculer en effectuant une substitution babylonienne, d'ou ma question pour .

  28. #27
    martini_bird

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Salut,

    les expressions des sinus et cosinus en fonction de la tangente de l'angle moitié rendent de nombreux services (pour le calcul d'intégrales comme ici, la paramétrisation rationnelle du cercle, et en de nombeux autres endroits). Elles devraient faire partie du kit de survie de tout étudiant en sciences (d'autant qu'il n'est pas nécessaire de les apprendre si l'on garde bien en tête que 1 = sin²+cos²).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  29. #28
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Bonjour.

    Une remarques sur la méthode de Bruno :
    D'abord, rien ne permet de dire que x est un arccos (*). Comme il ne l'est que s'il est entre 0 et Pi, il ne l'est généralement pas, pas même à 2Pi près. A priori, à 2Pi près il vaut soit arccos (..) soit son opposé. D'où la différence de résultat avec ma méthode.
    Bien évidement, si on sait que x est entre 0 et Pi, alors ma méthode devient encore plus simple, puisque on n'a pas besoin de y qui est par construction x.

    Je n'ai pas suivi le détail du calcul, mais il y a un souci avec une valeur absolue, non ?

    Cordialement.

    (*) y=cos(x) n'implique absolument pas x=arccos(y). Prendre par exemple x=200 (radians).

  30. #29
    Bruno

    Re : Dérivée de fonction inverse

    Je ne vois pas où est le problème, |1+u2|=1+u2 pour tout u et le but est bien de calculer . Or avec ce n'est plus une intégrale de Riemann, alors à quoi bon se compliquer la vie avec des outils de calcul peu utiles (sauf pour embêter les lycéens ) ?

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