Gradient d'un vecteur

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Bonjour,

J'aimerais comprendre comment on arrive à la formule du gradient d'un vecteur.
Voici le début des pages 448 et 449 du livre de P. Germain "Introduction à la MMC":
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Soit :
(équ.12)

Comme le système de vecteur , , attaché au point M constitue un corps rigide lorsque M varie, on a:



d'où:

(équ.13)

Il reste donc neuf quantités à déterminer en utilisant par exemple



ou



En effet, avec (12) et (13)



Par suite, on a d'une part

et (équ.14)

et d'autre part

(équ.15)

on écrirait de même les égalités analogues déduites par permutations circulaire.
Mais (13) et (15) montrent que les quantités , où I,j,k est une permutation de 1,2,3 sont identiquement nulles. En effet, si on pose par exemple



les quantités doivent changer de signe si on permute les deux derniers indices mais rester invariantes par permutation des deux premiers. Par suite on a les relations :



qui montrent que , ainsi que tous les où I,j,k est une permutation de 1,2,3, sont nuls.
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Jusqu'ici, c'est bon, j'arrive à comprendre, mais c'est la formule suivante que je ne comprends pas: je ne comprends pas comment utiliser ce qui précède pour écrire ce qui suit :
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On peut écrire finalement




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Voilà, c'est juste ce passage que je ne comprends pas. Il y a peut être une étape intermédiaire à faire, mais je ne vois pas laquelle

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J'espère que le message n'est pas trop long cette fois

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En fait, puisque je ne sais pas vraiment qu'est-ce qui me manque, j'ai un peu de mal à préciser la question.
Peut-être qu'on peut prendre un autre chemin mais je ne sais pas vraiment lequel.

[A voir en vidéo sur Futura]