Densité de probabilité, valeur moyenne et variance

[invite945d3fbd]

Salut tout le monde,
J'obtiens un résultat qui me semble étrange dans l'exercice suivant:

Soit X une variable aléatoire continue normale avec parametres et . Trouvez la densité de probabilité de la variable aléatoire Y définie par . Calculez la valeur moyenne et la variance de Y.

Pour trouver la densité de probabilité de Y, , j'ai utilisé la formule . Donc c'est ma réponse a la premiere question. Jusque la tout va bien.
Ensuite, la valeur moyenne vaut , comme y est une variable muette, je peux la remplacer par x dans la derniere intégrale. Donc , a cause de la normalisation. C'est ce résultat qui me trouble. J'aurais pensé trouver en fonction de par exemple et non une constante indépendente de X... Je suis donc sur que j'ai fais au moins une erreur mais je ne vois absolument pas ou.
Merci pour toute aide!
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[gg0]

Bonsoir.

C'est normal (sans jeu de mot) que tu sois surpris par ce résultat faux. Faux car tu as remplacé indument ln(y) par y en faisant un simili changement de variable. Si tu poses ln(y)=x, ça s'éclaire : plus de dy.
Il te reste à faire un changement de variable correct, et à utiliser la densité explicite de X.

Bon travail !

[invite945d3fbd]

Bonsoir.

C'est normal (sans jeu de mot) que tu sois surpris par ce résultat faux. Faux car tu as remplacé indument ln(y) par y en faisant un simili changement de variable. Si tu poses ln(y)=x, ça s'éclaire : plus de dy.
Il te reste à faire un changement de variable correct, et à utiliser la densité explicite de X.

Bon travail !

Ok merci beaucoup! Je vois mon erreur.
Donc j'ai . J'essaye le changement de variable .
Donc , ou . Enfin, . Ce qui me parait un peu bizarre, ca a l'air divergent mais je ne suis pas sur. Est-ce que ca semble une réponse valide?
Merci encore.

[gg0]

L'intégrale converge bien, mais ça ne se voit pas, car tu n'as pas utilisé l'hypothèse que X est une variable gaussienne. Il faudrait peut-être mettre enfin les mains dans le cambouis, expliciter P_X et faire le calcul. L'espérance est un nombre simple (qui dépend de la moyenne et la variance de X, évidemment).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite945d3fbd]

L'intégrale converge bien, mais ça ne se voit pas, car tu n'as pas utilisé l'hypothèse que X est une variable gaussienne. Il faudrait peut-être mettre enfin les mains dans le cambouis, expliciter P_X et faire le calcul. L'espérance est un nombre simple (qui dépend de la moyenne et la variance de X, évidemment).

Cordialement.

D'accord je comprends. Je prends .
Donc j'ai .
Je nomme , alors et .
Ca me donne .
Si je nomme et j'ai l'intégrale évaluée dans une table d'intégrales, ca me simplifie énormément les calculs et j'arrive finalement a .
Qu'en penses-tu?
Merci une fois de plus pour tout!

[invite945d3fbd]

Analoguement, j'obtiens . Donc la variance vaut .

[gg0]

Bonjour.

Ces résultats me rappellent ceux que j'ai trouvés quand j'ai cherché ça. Pour plus de sûreté, vérifie sur Internet, il s'agit de la loi lognormale (ou Log Normale).

Cordialement.

[invite945d3fbd]

Bonjour.

Ces résultats me rappellent ceux que j'ai trouvés quand j'ai cherché ça. Pour plus de sûreté, vérifie sur Internet, il s'agit de la loi lognormale (ou Log Normale).

Cordialement.

Ok merci beaucoup, parfait, ca confirme mes résultats!
Probleme résolu.