Champ vectoriel conservatif

[inviteaaa26f50]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire, sur lequel j'ai un petit doute. On me dit que l'intensité de la force de gravitation entre deux objets de masses m et M est de la forme F=-mMG/r².
L'objet M est à l'origine du repère R³.Vecteur r=(x,y,z) désigne le vecteur position de l'objet de masse m, alors r²=||r||².
La force de gravité exercée sur un objet en vecteur r=(x,y,z) est donc F(r)=-mMG/||r||³ r(vecteur).

On me demande de montrer que ce champ vectoriel est conservatif.

J'ai donc essayé de montrer que rot F= vecteur nul. Mais c'est là que j'ai un doute. Il me faut donc connaitre les trois coordonnées cartésiennes. J'ai donc exprimé avec les angles, mais il me faut ensuite introduire les variables x, y et z pour pouvoir calculer le rotationel. J'ai donc Vecteur F=[F.sin(phi).cos(phi)]i+[F.sin(phi).sin(téta)]j+[F.cos(phi)]k.
Comment faire intervenir x,y et z ? J'avais pensé poser --> F.sin(phi).cos(phi)=x | F.sin(phi).sin(téta)=y | F.cos(phi)=z. Mais je n'y crois pas vraiment.
Suis-je sur la bonne voie ?
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[gg0]

Bonjour.

Je ne vois pas l'utilité de faire intervenir les angles. On calcule facilement les coordonnées cartésiennes de F.

Bon calcul !

[inviteaaa26f50]

Tu veux dire que je dois simplement exprimer cos(phi), cos(téta) etc ... ?

[gg0]

"Je ne vois pas l'utilité de faire intervenir les angles"

Travaille directement avec x, y et z.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaaa26f50]

Mais F est définie suivant le vecteur r. Je suis donc obligé de décomposer sur les axes x,y et z. Je me retrouve avec F=Fx*vecteur i+Fy*vecteur j+Fz*vecteur k.
Comment faire intervenir les variables x, y et z ? Fx=-mMG/x² ? etc .... ?

[NicoEnac]

Bonjour,

Pourquoi ne pas utiliser la forme sphérique du rotationnel ? Ici, la force ne s'exprime que sur u_r et ses coordonnées sur u_phi et u_theta sont nulles ce qui simplifie pas mal de choses.

Par contre, je ne vois pas comment obtenir les coordonnées de F (Fx, Fy, Fz) en fonction de x, y et z (je ne dis pas cela pour contredire gg0 mais tout simplement car je ne le trouve pas)

Fx=-mMG/x²

: ceci est faux car avec cela, on a différent de

[albanxiii]

Bonjour,

Je ne coimprend pas ! Vous avez un champ central, la façon naturelle de calculer son rotationnel est d'utliser les coordonnées sphériques et donc l'expression du rotationnel en ces mêmes coordonnées ! Vu que le champ ne dépend que de r, les calculs sont vites expédiés.

Une autre façon de faire, qui nécessite un peu plus de réflexion et de justification, mais beaucoup moins de calculs, est de calculer la circulation du champ et de montrer qu'elle ne dépend pas du chemin suivi.

Bonne soirée.

[gg0]

Désolé, Nico,

mais je ne vois pas la difficulté, F(r) étant proportionnel à r, ses coordonnées le sont aux coordonnées de r. Ou je ne comprend rien à la question.

par contre, ce n'est sans doute pas la façon la plus simple, mais je ne connais pas grand chose à ces questions (bien qu'ayant lu pas mal de choses autour de ce type de sujet dans ma jeunesse).

Cordialement.

[inviteaaa26f50]

Merci à tous pour votre aide.
C'est sûr qu'avec le rotationnel en coordonnées sphériques, le résultat est immédiat. C'est juste que je n'étais pas censé encore l'avoir vu, et donc je voulais absolument l'utiliser en cartésiennes.

[albanxiii]

Bonjour,

lewis72, ne vous lancez pas dans des calculs inutiles...

Beaucoup plus rapide, et sans système de coordonnées : écrire la fonction telle que , et c'est fini (le rotationnel d'un gradient étant toujours nul).

Bonne journée.

[albanxiii]

Re,

Et comme nous sommes sur le forum de mathématiques, il faut préciser que ces formules ne sont valables que des régions de l'espace qui ont certaines propriétés (ouverts connexes il me semble, mais pas sur à 110 %).

Bonne journée.

[NicoEnac]

Désolé, Nico,

mais je ne vois pas la difficulté, F(r) étant proportionnel à r, ses coordonnées le sont aux coordonnées de r. Ou je ne comprend rien à la question.

Voilà ce que j'ai compris dans votre réponse :


d'où :





Or
Donc

Mais

J'ai sans doute mal compris ce que vous vouliez dire. Ou alors, je me suis planté dans mon développement.

[inviteaaa26f50]

Bonjour,

lewis72, ne vous lancez pas dans des calculs inutiles...

Beaucoup plus rapide, et sans système de coordonnées : écrire la fonction telle que , et c'est fini (le rotationnel d'un gradient étant toujours nul).

Bonne journée.

Mon exercice me demande dans un premier temps de montrer que c'est un champ vectoriel conservatif et dans un second temps, de montrer qu'il peut s'écrire comme le gradient d'un potentiel scalaire. Je doit donc d'abord calculer le rotationnel, avec sa formule en coordonnées sphériques, le résultats est immédiat. Mais est-il possible de résoudre ce problème avec les coordonnées cartésiennes ?

[gg0]

NicoEnac,

je ne comprends pas tes calculs.
Ok
??? Pourquoi le r² est-il devenu un x² ?????

Pour moi, avec et (x,y,z) comme coordonnées de , j'utilise la formule de Lewis72 :

qui donne directement les coordonnées de :



avec

Ce qui est accessible à un étudiant de L1. Et que je savais faire en fin de première.

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

L'énoncé est idiot, mais il ne faut pas que cela vous oblige à l'ête vous aussi !
Pour moi, on montre que le champ dérive d'un potentiel et les deux questions sont faites en même temps.

D'autre part, il est possible de le faire en coordonnées cartésiennes, mais c'est idiot puisque les coordonnées sphériques sont les coordonnées naturelles adaptées à la symétrie du problème. Cela dit, si vous voulez faire le calcul dans le noir, en équilibre debour sur un tabouret et avec une main dans le dos, je ne peux pas vous en empêcher. Mais ça n'est ni la manière la plus efficace, ni la manière la plus adaptée et élégante pour résoudre ce problème tout bête.

Bonne soirée.

[gg0]

Pour info :

je ne prône pas le calcul avec les coordonnées cartésiennes, bien sûr. Mais il y avait de la mise en doute de la possibilité de les calculer.

Cordialement.

[NicoEnac]

gg0,

je ne comprends pas tes calculs.
Ok
??? Pourquoi le r² est-il devenu un x² ?????

C'est ce que j'avais compris dans votre première réponse et je savais que c'était faux (cf mon développement qui m'amène à une mauvaise expression de F).

Pour moi, avec et (x,y,z) comme coordonnées de , j'utilise la formule de Lewis72 :

qui donne directement les coordonnées de :


[TEX]-\frac{mMG}{r^3}z[TEX]
avec

C'est tout bête mais ça ne m'est pas venu à l'esprit. Je pensais que vous suggériez ce que j'ai écrit + haut (que je savais faux). Merci pour l'explication.