hyperplan

[chacal66]

bonsoir, je n'arrive pas à avancer sur un exo: Soit E un espace vectoriel de dimension finie, u endomorphisme de E et H hyperplan!
Montrer que H est staple par u si et seulement si H est le noyau d'une forme lineaire f ou f est le vecteur propre de u orthogonal.
Determiner tous les endomorphismes de E qui laissent stables les hyperplans de E. Puis pour p fixé entre 1 et n-1, determiner tous les endomorphismes de E qui laissent stables tous les ss espaces de E de dimension p.

Je pars de x dans H et j'ai u(x)=x donc x est dans le noyau de u-id mais après je vois pas comment avancer...
-----

[invite332de63a]

Bonjour, stable ne veut pas dire que fixe les éléments de - sauf erreur de ma part - mais que .
Je ne comprend pas " est le vecteur propre de orthogonal"? Ne serait ce pas orthogonal?

[invited7e4cd6b]

Bonjour,

Un hyperplan est toujours noyau d'une forme linéaire. Si l'on prend une base de H B(e1,...,en-1) alors on la complète en une base de E B=(e1,...,en).
Dans ce cas considérons la base ante-duale de B. on a pour tout i inférieur a n: Pour tout x de 3, en*(ei(x))=0.
Si tu comprends ce que j'ai dit, sauf erreur, tu verras que ton résultat en découlera.

Et puis comme a dit Roberto, la stabilité ce n'est pas que u(x)=x pour tout x mais u(x) est dans H si x est dans H.

[chacal66]

ah oui c'est inclus pardon...j'ai réussi à montrer l'équivalence mais je suis totalement bloqué sur la deuxieme partie de la question qui consiste à trouver tous les endomorphismes qui laissent stablent les hyperplans...

[A voir en vidéo sur Futura]