Auto-corrélation d'un processus à moyenne mobile.

[invite7ebcb46b]

Bonsoir,

J'aurais une question sur un problème concernant l'auto-corrélation d'un processus à moyenne mobile.

J'ai un processus de la forme Y(n) = Q^T*Z(n)+z(n);

Sachant que Q est un vecteur ligne Q= [Q1 Q2 Q3]^T ; et que Z(n) est un vecteur colonne Z(n) = [ z(n-1) z(n-2) z(n-3) ], sachant que z(n) est un processus gaussien i.i.d de moyenne nulle avec une variance constante.

Je cherche donc l'autocorrélation R_y(k) = E[Y(n)*Y(n-k)]

Pour faire cela, je suis passé par une méthode par forcément des plus fines, c'est à dire que j'ai développé les termes de Y(n), ai multiplié les vecteurs Q et Z, de telle sorte d'avoir des sommes dans l'espérance et par linéarité avoir une somme d'espérances. ( Ce qui fait beaucoup de terme, il doit y avoir un moyen de garder les termes sous forme de matrice, mais je suis peut être un peu moins à l'aise avec.)

Ce qui m'amène à la fin à toute une série de termes sous la forme suivante :

R_y(k) = Q1²E[ Z(n-1)*Z(n-k-1)] + Q1Q2 E[ Z(n-1)Z(n-k-2)] + ...

Ma question porte sur les termes Espérances : Dans le cadre d'un processus WSS, je sais que je peut transformer un E[ Z(n-1)*Z(n-k-1)] en R_z(k).

Est-ce qu'il m'est possible de faire cela ici aussi?
Si non, auriez vous des conseils pour m'indiquer quelle voie emprunter?

Merci.
RD
-----

[inviteea028771]

Si ton processus est iid, alors tu as bien Cov(z(n),z(k)) = 0 pour n différent de k et Var(z(n)) = c, non?

A partir de là, il est facile de calculer R(k):

Donc si je ne me plante pas

R(0) = c(Q1²+Q2²+Q3²+1)
R(1) = c(Q1+Q1Q2+Q2Q3)
R(2) = c(Q2+Q1Q3)
R(3) = cQ3
R(n) = 0 pour n > 3 (et de façon symétrique pour les entiers négatifs)