Bonjour, j'aimerai avoir votre avis sur un DM de maths qui est le suivant :
Soit α un nombre réel de l'intervalle ]-π/2; π/2[. On considère l'équation (E) d'inconnue z complexe : ((1+iz)^3)(1-itanα)=((1-iz)^3)(1+itanα)
1) Soit z une solution de (E). Montrez que |1+iz| = |1-iz| et en déduire que z est réel.
On pose alors z=tanφ avec φ appartenant à ]-π/2, π/2[.
2) Justifier l'existence et l'unicité de φ.
3)a) Exprimer (1+itanα)/(1-itanα) en fonction de e(iα).
b) Ecrire l'équation d'inconnue φ équivalente à (E) et en déduire les valeurs de φ en fonction de α.
c) Appliquer ce qui précède à la résolution de l'équation (E1): ((1+iz)^3)(1-i)=((1-iz)^3)(1+i)
d) Mettre l'équation (E1) sous la forme (z+1)T(z)=0 où T(z) est un trinôme du 2nd degré que l'on précisera.
e) Résoudre T(z)=0 et en déduire les valeurs de tan(π/12) et de tan(5π/12)
- J'ai réussi (normalement ^^) à démontrer que |1+iz| = |1-iz| mais pour puis-je dire que |1+iz| = |1-iz| -> 1-2y+y^2+x^2=1+2y+y^2+x^2 -> -2y=2y -> y =0 , pour dire que z est réel ?
- Je ne vois pas comment démontrer la question 2 :/
- En 3)a) je trouve (1+itanα)/(1-itanα) = e(2iα) (cela me semble correct..)
Pour la 3)b) je tombe sur φ= (α/3) + kπ/3
En 3)c) j'ai φ= (π/12) + kπ/3
Pour la 3)d) j'ai tout développé pour tomber sur T(z) = -2iz^2 +8iz -2i
je factorise par 2i puis je trouve comme solution du trinôme : Z1 = 2+ √3 et Z2 = 2- √3
Ce qui veut dire que tan(π/12) = 2- √3 et de tan(5π/12) = 2+ √3 mais comment puis-je le justifier ? car tan est croissante?
J'aimerai savoir si ce que j'ai fais vous semble juste et une petite aide sur la question 2 ne serait pas de refus :$
Merci, bonne soirée.
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