Complexes ... très complexes...

[invitec563061b]

Bonsoir,
Je cherche de l'aide pour un exercice que j'ai à faire. Je suis en terminal S:
1° Z est définie par Z=(1-z)/(i-z)
a) Déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z tel que Z soit réel.
b) Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z tel que Z soit imaginaire pur.

Pour le a)
J'ai noté H l'ensemble des points cherchés.
M(z) appartient à H équivaut à z appartient à R
M(z) appartient à H équivaut à Im(z)=0

On pose z=x+iy
On écrit M sous forme algébrique.

On a donc Z=[1-(x+iy)]/[i-(x+iy)]

Alors là, je n'arrive pas à l'écrire sous forme algébrique. J'ai essayé de supprimer le i du bas, grâce à (a+bi)(a-bi)=a²+b²
J'obtiens Z=[[1-(x+iy)][-x+i(1+y)]]/[[-x-i(-1+y)][-x+i(-1+y)]
Ensuite: Z= [[1-(x+iy)][-x+i(1+y)]]/[x²-(-1+y)²]
Puis en développant : Z= [-x-i+iy+x²+ix-y+y²]/[x²-1+2y-y²]
Mais à ce niveau je bloque, car je n'ai plus de i en bas, mais c'est le n'importe quoi en haut et en bas avec des carrés partout...

Il y a un 2°, mais j'en parlerais après...
Merci.
-----

[invite00970985]

Bonjour,

Si j'en crois ton calcul, la réponse n'est pas loin.

Tu as des carrés en bas, ce n'est pas grave, laisse les comme ça. Tu cherches que Im(Z)=0. Isole ta partie imaginaire dans ton numérateur, tu verras qu'elle n'est pas bien méchante et doit te permettre de répondre.

Pour le b) la partie réelle est plus tarabiscoté, mais tu devrais pouvoir t'en sortir (pense à l'équation d'un cercle).

[invitec563061b]

Merci, mais j'arrive à
M(z) appartient à H équivaut à (-1+y+x)/(x²-y²-1+2y)=0
M(z) appartient à H équivaut à 1-y-x=0 et -x²+y²+1-2y#0
M(z) appartient à H équivaut à x+y=1 et (y-1)²-x²#0

Je ne sais pas quelles valeurs font 0 pour (y-1)²-x²#0 puisqu'il y a un moins, et comment dois-je répondre pour x+y=1?

[invitea3eb043e]

Bien compliqué tout ça !
Il suffit de dire que Z = r un réel quelconque et on trouve z = (1 - i r)/(1-r) donc si z=x+iy en identifiant : x = 1/(1-r) et y = - r/(1-r) et ça crève les yeux que x+y=1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Maintenant, il y a plus élégant que d'écrire encore et toujours des équations.
Prenons le point A d'affixe 1 et le point B d'affixe i.
(1-z) est l'affixe du vecteur MA et (i-z) l'affixe de MB.
L'argument du quotient représente l'angle entre MA et MB, qui vaut 0 ou pi puisque le quotient est réel, donc M est sur la droite AB dont l'équation est justement x+y=1.

[invitec563061b]

Merci pour vos réponses, j'ai réussi à répondre à la a).
Pour la b), je fait de même et j'arrive à :
M(z) appartient à G équivaut à (-x-y+x²+y²)/(x²-y²-1+2y)=0
M(z) appartient à G équivaut à -x-y+x²+y²=0 et x²-y²-1+2y#0
M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-(1/4)-[y+(1/2)]²+(1/4)=0 et (y-1)²-x²#0
M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y+(1/2)]²=0
et (x;y)#(0;1)

Mais là, je fais quoi pour la partie [x-(1/2)]²-[y+(1/2)]²=0 car la formule du cercle c'est (x-a)²+(y-b)²=R²
alors que là, j'ai un moins.
Merci.

[invite51d17075]

M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y+(1/2)]²=0
et (x;y)#(0;1)

Mais là, je fais quoi pour la partie [x-(1/2)]²-[y+(1/2)]²=0 car la formule du cercle c'est (x-a)²+(y-b)²=R²
alors que là, j'ai un moins.
Merci.

A²_B²=(A-B)*(A+B) donc soit l'un soit l'autre est nul.

[invitec563061b]

A²_B²=(A-B)*(A+B) donc soit l'un soit l'autre est nul.

Je fait quoi de l'équation de mon cercle avec ça? Je répond comment?

[invite51d17075]

Je fait quoi de l'équation de mon cercle avec ça? Je répond comment?

pourquoi un cercle ?
c'est sensé être la seule reponse ?alors il doit y avoir y erreur dans tes calculs...

[invitec563061b]

pourquoi un cercle ?
c'est sensé être la seule reponse ?alors il doit y avoir y erreur dans tes calculs...

Non, ce n'est pas forcement un cercle, mais je pensais, c'est tout. Je répond quoi, alors? 2 points? Lesquels? Je dois faire:
[x-(1/2)] - [y+(1/2)]=0 et [x-(1/2)] + [y+(1/2)]=0
Comment doit-on résoudre ça?

[invitea3eb043e]

Je reprends le même raisonnement :
Prenons le point A d'affixe 1 et le point B d'affixe i.
(1-z) est l'affixe du vecteur MA et (i-z) l'affixe de MB.
L'argument du quotient représente l'angle entre MA et MB, qui vaut pi/2 ou -pi/2 puisque c'est un imaginaire pur donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre AB.
Ton signe - doit être une erreur de calcul.

[invitec563061b]

Je reprends le même raisonnement :
Prenons le point A d'affixe 1 et le point B d'affixe i.
(1-z) est l'affixe du vecteur MA et (i-z) l'affixe de MB.
L'argument du quotient représente l'angle entre MA et MB, qui vaut pi/2 ou -pi/2 puisque c'est un imaginaire pur donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre AB.
Ton signe - doit être une erreur de calcul.

Je ne comprend pas votre raisonnement. C'est possible qu'il y est une erreur, c'est tout à fait moi, ça! Je regarde ça.

[invitec563061b]

Je ne comprend pas votre raisonnement. C'est possible qu'il y est une erreur, c'est tout à fait moi, ça! Je regarde ça.

J'ai cherché, mais je ne trouve pas d'erreur de signe...

[invitee4ef379f]

Bonsoir,

Si si il y a bien une erreur de calcul.

Pourquoi écris-tu d'une part:
x² - x = (x - 1/2)² - 1/4

Et d'autre part:
y² - y = - (y+1/2)² + 1/4

?? Pour moi il y a quelque chose qui cloche.

[invitec563061b]

Bonsoir,

Si si il y a bien une erreur de calcul.

Pourquoi écris-tu d'une part:
x² - x = (x - 1/2)² - 1/4

Et d'autre part:
y² - y = - (y+1/2)² + 1/4

?? Pour moi il y a quelque chose qui cloche.

J'ai écrit -y² - y = - (y+1/2)² + 1/4
Enfin, je crois...

[invitee4ef379f]

J'ai écrit -y² - y = - (y+1/2)² + 1/4
Enfin, je crois...

En relisant ton message #6 dans lequel tu détailles tes calculs, ce n'est pas ce que tu as écrit.

[invitec563061b]

En relisant ton message #6 dans lequel tu détailles tes calculs, ce n'est pas ce que tu as écrit.

C'est exact, merci beaucoup!
Cela fait donc :
M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-(1/4)-[y-(1/2)]²-(1/4)=0
M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y-(1/2)]²=Racinede(1/2)
G est donc le cercle de centre "Oméga" (1/2;1/2) et de rayon 1/Racinede2

[invitee4ef379f]

M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y-(1/2)]²=Racinede(1/2)

Attention, tu ne peux pas appliquer la fonction racine à un seul côté de l'équation... Tu n'aurais pas oublié quelque chose?

[invitea3eb043e]

Soit le cercle de diamètre AB ! Maintenant, c'est juste, mais on pouvait y arriver en 2 lignes.

[invitec563061b]

Excusez-moi, je suis vraiment étourdi, je voulais écrire:
M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y-(1/2)]²=[Racinede(1/2)]²
Merci...

[invitee4ef379f]

Soit le cercle de diamètre AB ! Maintenant, c'est juste, mais on pouvait y arriver en 2 lignes.

J'admets que la méthode géométrique est plus élégante, comme souvent

[invitec563061b]

Ma professeur nous a demandée de rédiger comme ça, alors moi, je ne me pose pas de questions...
Merci à tous pour m'avoir aider...

[invite51d17075]

Non, ce n'est pas forcement un cercle, mais je pensais, c'est tout. Je répond quoi, alors? 2 points? Lesquels? Je dois faire:
[x-(1/2)] - [y+(1/2)]=0 et [x-(1/2)] + [y+(1/2)]=0
Comment doit-on résoudre ça?

en developant
on trouve soit
x-y=1 soit
x+y=0 donc deux equation de droites.
et ce n'est pas ET mais OU l'un ou l'autre.

[invitea3eb043e]

Non, non, ça c'était une erreur de calcul. Le plus simple, si on veut poser des équations est de dire que (1-z)/(i-z)= r i avec r réel.
En débobinant, on trouve z = (1+r)/(1+r²) + i r(1+r)/(1+r²) qu'on identifie avec x + i y
x=(1+r)/(1+r²)
y = r(1+r)/(1+r²)
r=y/x et il ressort en portant dans x : x²+y²=x+y
(x-1/2)² + (y-1/2)² =1/2
qui est bien un cercle.

[invite045774dd]

Bonjour,
moi aussi je travaille sur les complexes et je suis en ce moment sur une équation du second degré à 2 inconnues, alors je cherche un peu d'aide...
Voici l'équation : z²-2iz(conjugé avec une barre au dessus donc.)=0 (1)

on pose : z= x+iy avec x et y réel

(1) <=> x²-y²+2ixy-2i(x-iy)=0
<=>x²-y²-2y+2i(xy-x)=0

c'est maintenant que j'obtiens ce résultat, je sais qu'il faut faire un système mais je ne vois pas comment!!

(sachez que je suis très nulle en maths!)

Merci d'avance...

[invitee4ef379f]

Bonjour, bienvenue sur le forum.

Tu avais le droit d'ouvrir une nouvelle discussion

Je ne suis pas sûr de bien voir ce que tu dois faire, peux tu réécrire ton équation en employant "z_barre" pour désigner le conjugué de z (si tu ne sais pas utiliser LateX)?

Une réflexion qui, je pense, pourra t'aider quand même: pour qu'un nombre complexe soit nul, il faut que sa partie réelle et sa partie imaginaire soient toutes les deux nulles.

Bon courage.

[invitea3eb043e]

Quand on travaille sur les complexes, faut pas se précipiter pour écrire z=x + i y
En fait, il y a 3 approches : celle cartésienne avec x+iy, celle polaire avec module et argument et enfin la géométrique.
Ici, l'approche polaire paraît judicieuse.
Peux-tu essayer ?

[invitee4ef379f]

Quand on travaille sur les complexes, faut pas se précipiter pour écrire z=x + i y [...]

Lol, serait-ce un combat de longue date contre ces étudiants ignares qui refusent l'existence du polaire et de la géométrie? En tout cas je me reconnais bien là .

[invite51d17075]

Non, non, ça c'était une erreur de calcul. Le plus simple, si on veut poser des équations est de dire que (1-z)/(i-z)= r i avec r réel.
En débobinant, on trouve z = (1+r)/(1+r²) + i r(1+r)/(1+r²) qu'on identifie avec x + i y
x=(1+r)/(1+r²)
y = r(1+r)/(1+r²)
r=y/x et il ressort en portant dans x : x²+y²=x+y
(x-1/2)² + (y-1/2)² =1/2
qui est bien un cercle.

je suis désolé d'avoir mal repondu à un énoncé qui n'était pas le bon

[invitea3eb043e]

je suis désolé d'avoir mal repondu à un énoncé qui n'était pas le bon

Ca arrive à des gens très bien : moi, par exemple.