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Complexes ... très complexes...



  1. #1
    kirikou56100

    Angry Complexes ... très complexes...


    ------

    Bonsoir,
    Je cherche de l'aide pour un exercice que j'ai à faire. Je suis en terminal S:
    1° Z est définie par Z=(1-z)/(i-z)
    a) Déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z tel que Z soit réel.
    b) Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z tel que Z soit imaginaire pur.

    Pour le a)
    J'ai noté H l'ensemble des points cherchés.
    M(z) appartient à H équivaut à z appartient à R
    M(z) appartient à H équivaut à Im(z)=0

    On pose z=x+iy
    On écrit M sous forme algébrique.

    On a donc Z=[1-(x+iy)]/[i-(x+iy)]

    Alors là, je n'arrive pas à l'écrire sous forme algébrique. J'ai essayé de supprimer le i du bas, grâce à (a+bi)(a-bi)=a²+b²
    J'obtiens Z=[[1-(x+iy)][-x+i(1+y)]]/[[-x-i(-1+y)][-x+i(-1+y)]
    Ensuite: Z= [[1-(x+iy)][-x+i(1+y)]]/[x²-(-1+y)²]
    Puis en développant : Z= [-x-i+iy+x²+ix-y+y²]/[x²-1+2y-y²]
    Mais à ce niveau je bloque, car je n'ai plus de i en bas, mais c'est le n'importe quoi en haut et en bas avec des carrés partout...

    Il y a un 2°, mais j'en parlerais après...
    Merci.

    -----

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  3. #2
    sebsheep

    Re : Complexes ... très complexes...

    Bonjour,

    Si j'en crois ton calcul, la réponse n'est pas loin.

    Tu as des carrés en bas, ce n'est pas grave, laisse les comme ça. Tu cherches que Im(Z)=0. Isole ta partie imaginaire dans ton numérateur, tu verras qu'elle n'est pas bien méchante et doit te permettre de répondre.

    Pour le b) la partie réelle est plus tarabiscoté, mais tu devrais pouvoir t'en sortir (pense à l'équation d'un cercle).

  4. #3
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Merci, mais j'arrive à
    M(z) appartient à H équivaut à (-1+y+x)/(x²-y²-1+2y)=0
    M(z) appartient à H équivaut à 1-y-x=0 et -x²+y²+1-2y#0
    M(z) appartient à H équivaut à x+y=1 et (y-1)²-x²#0

    Je ne sais pas quelles valeurs font 0 pour (y-1)²-x²#0 puisqu'il y a un moins, et comment dois-je répondre pour x+y=1?

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Complexes ... très complexes...

    Bien compliqué tout ça !
    Il suffit de dire que Z = r un réel quelconque et on trouve z = (1 - i r)/(1-r) donc si z=x+iy en identifiant : x = 1/(1-r) et y = - r/(1-r) et ça crève les yeux que x+y=1

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Complexes ... très complexes...

    Maintenant, il y a plus élégant que d'écrire encore et toujours des équations.
    Prenons le point A d'affixe 1 et le point B d'affixe i.
    (1-z) est l'affixe du vecteur MA et (i-z) l'affixe de MB.
    L'argument du quotient représente l'angle entre MA et MB, qui vaut 0 ou pi puisque le quotient est réel, donc M est sur la droite AB dont l'équation est justement x+y=1.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Merci pour vos réponses, j'ai réussi à répondre à la a).
    Pour la b), je fait de même et j'arrive à :
    M(z) appartient à G équivaut à (-x-y+x²+y²)/(x²-y²-1+2y)=0
    M(z) appartient à G équivaut à -x-y+x²+y²=0 et x²-y²-1+2y#0
    M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-(1/4)-[y+(1/2)]²+(1/4)=0 et (y-1)²-x²#0
    M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y+(1/2)]²=0
    et (x;y)#(0;1)

    Mais là, je fais quoi pour la partie [x-(1/2)]²-[y+(1/2)]²=0 car la formule du cercle c'est (x-a)²+(y-b)²=R²
    alors que là, j'ai un moins.
    Merci.

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  10. #7
    ansset

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par kirikou56100 Voir le message
    M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y+(1/2)]²=0
    et (x;y)#(0;1)

    Mais là, je fais quoi pour la partie [x-(1/2)]²-[y+(1/2)]²=0 car la formule du cercle c'est (x-a)²+(y-b)²=R²
    alors que là, j'ai un moins.
    Merci.
    A²_B²=(A-B)*(A+B) donc soit l'un soit l'autre est nul.

  11. #8
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    A²_B²=(A-B)*(A+B) donc soit l'un soit l'autre est nul.
    Je fait quoi de l'équation de mon cercle avec ça? Je répond comment?

  12. #9
    ansset

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par kirikou56100 Voir le message
    Je fait quoi de l'équation de mon cercle avec ça? Je répond comment?
    pourquoi un cercle ?
    c'est sensé être la seule reponse ?alors il doit y avoir y erreur dans tes calculs...

  13. #10
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    pourquoi un cercle ?
    c'est sensé être la seule reponse ?alors il doit y avoir y erreur dans tes calculs...
    Non, ce n'est pas forcement un cercle, mais je pensais, c'est tout. Je répond quoi, alors? 2 points? Lesquels? Je dois faire:
    [x-(1/2)] - [y+(1/2)]=0 et [x-(1/2)] + [y+(1/2)]=0
    Comment doit-on résoudre ça?

  14. #11
    Jeanpaul

    Re : Complexes ... très complexes...

    Je reprends le même raisonnement :
    Prenons le point A d'affixe 1 et le point B d'affixe i.
    (1-z) est l'affixe du vecteur MA et (i-z) l'affixe de MB.
    L'argument du quotient représente l'angle entre MA et MB, qui vaut pi/2 ou -pi/2 puisque c'est un imaginaire pur donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre AB.
    Ton signe - doit être une erreur de calcul.

  15. #12
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Je reprends le même raisonnement :
    Prenons le point A d'affixe 1 et le point B d'affixe i.
    (1-z) est l'affixe du vecteur MA et (i-z) l'affixe de MB.
    L'argument du quotient représente l'angle entre MA et MB, qui vaut pi/2 ou -pi/2 puisque c'est un imaginaire pur donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre AB.
    Ton signe - doit être une erreur de calcul.
    Je ne comprend pas votre raisonnement. C'est possible qu'il y est une erreur, c'est tout à fait moi, ça! Je regarde ça.

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  17. #13
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par kirikou56100 Voir le message
    Je ne comprend pas votre raisonnement. C'est possible qu'il y est une erreur, c'est tout à fait moi, ça! Je regarde ça.
    J'ai cherché, mais je ne trouve pas d'erreur de signe...

  18. #14
    Plume d'Oeuf

    Re : Complexes ... très complexes...

    Bonsoir,

    Si si il y a bien une erreur de calcul.

    Pourquoi écris-tu d'une part:
    x² - x = (x - 1/2)² - 1/4

    Et d'autre part:
    y² - y = - (y+1/2)² + 1/4

    ?? Pour moi il y a quelque chose qui cloche.

  19. #15
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par Plume d'Oeuf Voir le message
    Bonsoir,

    Si si il y a bien une erreur de calcul.

    Pourquoi écris-tu d'une part:
    x² - x = (x - 1/2)² - 1/4

    Et d'autre part:
    y² - y = - (y+1/2)² + 1/4

    ?? Pour moi il y a quelque chose qui cloche.
    J'ai écrit -y² - y = - (y+1/2)² + 1/4
    Enfin, je crois...

  20. #16
    Plume d'Oeuf

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par kirikou56100 Voir le message
    J'ai écrit -y² - y = - (y+1/2)² + 1/4
    Enfin, je crois...
    En relisant ton message #6 dans lequel tu détailles tes calculs, ce n'est pas ce que tu as écrit.

  21. #17
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par Plume d'Oeuf Voir le message
    En relisant ton message #6 dans lequel tu détailles tes calculs, ce n'est pas ce que tu as écrit.
    C'est exact, merci beaucoup!
    Cela fait donc :
    M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-(1/4)-[y-(1/2)]²-(1/4)=0
    M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y-(1/2)]²=Racinede(1/2)
    G est donc le cercle de centre "Oméga" (1/2;1/2) et de rayon 1/Racinede2

  22. #18
    Plume d'Oeuf

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par kirikou56100 Voir le message
    M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y-(1/2)]²=Racinede(1/2)
    Attention, tu ne peux pas appliquer la fonction racine à un seul côté de l'équation... Tu n'aurais pas oublié quelque chose?

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  24. #19
    Jeanpaul

    Re : Complexes ... très complexes...

    Soit le cercle de diamètre AB ! Maintenant, c'est juste, mais on pouvait y arriver en 2 lignes.

  25. #20
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Excusez-moi, je suis vraiment étourdi, je voulais écrire:
    M(z) appartient à G équivaut à [x-(1/2)]²-[y-(1/2)]²=[Racinede(1/2)]²
    Merci...

  26. #21
    Plume d'Oeuf

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Soit le cercle de diamètre AB ! Maintenant, c'est juste, mais on pouvait y arriver en 2 lignes.
    J'admets que la méthode géométrique est plus élégante, comme souvent

  27. #22
    kirikou56100

    Re : Complexes ... très complexes...

    Ma professeur nous a demandée de rédiger comme ça, alors moi, je ne me pose pas de questions...
    Merci à tous pour m'avoir aider...

  28. #23
    ansset

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par kirikou56100 Voir le message
    Non, ce n'est pas forcement un cercle, mais je pensais, c'est tout. Je répond quoi, alors? 2 points? Lesquels? Je dois faire:
    [x-(1/2)] - [y+(1/2)]=0 et [x-(1/2)] + [y+(1/2)]=0
    Comment doit-on résoudre ça?
    en developant
    on trouve soit
    x-y=1 soit
    x+y=0 donc deux equation de droites.
    et ce n'est pas ET mais OU l'un ou l'autre.

  29. #24
    Jeanpaul

    Re : Complexes ... très complexes...

    Non, non, ça c'était une erreur de calcul. Le plus simple, si on veut poser des équations est de dire que (1-z)/(i-z)= r i avec r réel.
    En débobinant, on trouve z = (1+r)/(1+r²) + i r(1+r)/(1+r²) qu'on identifie avec x + i y
    x=(1+r)/(1+r²)
    y = r(1+r)/(1+r²)
    r=y/x et il ressort en portant dans x : x²+y²=x+y
    (x-1/2)² + (y-1/2)² =1/2
    qui est bien un cercle.

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  31. #25
    lemonel

    Re : Complexes ... très complexes...

    Bonjour,
    moi aussi je travaille sur les complexes et je suis en ce moment sur une équation du second degré à 2 inconnues, alors je cherche un peu d'aide...
    Voici l'équation : z²-2iz(conjugé avec une barre au dessus donc.)=0 (1)

    on pose : z= x+iy avec x et y réel

    (1) <=> x²-y²+2ixy-2i(x-iy)=0
    <=>x²-y²-2y+2i(xy-x)=0

    c'est maintenant que j'obtiens ce résultat, je sais qu'il faut faire un système mais je ne vois pas comment!!

    (sachez que je suis très nulle en maths!)

    Merci d'avance...

  32. #26
    Plume d'Oeuf

    Re : Complexes ... très complexes...

    Bonjour, bienvenue sur le forum.

    Tu avais le droit d'ouvrir une nouvelle discussion

    Je ne suis pas sûr de bien voir ce que tu dois faire, peux tu réécrire ton équation en employant "z_barre" pour désigner le conjugué de z (si tu ne sais pas utiliser LateX)?

    Une réflexion qui, je pense, pourra t'aider quand même: pour qu'un nombre complexe soit nul, il faut que sa partie réelle et sa partie imaginaire soient toutes les deux nulles.

    Bon courage.

  33. #27
    Jeanpaul

    Re : Complexes ... très complexes...

    Quand on travaille sur les complexes, faut pas se précipiter pour écrire z=x + i y
    En fait, il y a 3 approches : celle cartésienne avec x+iy, celle polaire avec module et argument et enfin la géométrique.
    Ici, l'approche polaire paraît judicieuse.
    Peux-tu essayer ?

  34. #28
    Plume d'Oeuf

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Quand on travaille sur les complexes, faut pas se précipiter pour écrire z=x + i y [...]
    Lol, serait-ce un combat de longue date contre ces étudiants ignares qui refusent l'existence du polaire et de la géométrie? En tout cas je me reconnais bien là .

  35. #29
    ansset

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Non, non, ça c'était une erreur de calcul. Le plus simple, si on veut poser des équations est de dire que (1-z)/(i-z)= r i avec r réel.
    En débobinant, on trouve z = (1+r)/(1+r²) + i r(1+r)/(1+r²) qu'on identifie avec x + i y
    x=(1+r)/(1+r²)
    y = r(1+r)/(1+r²)
    r=y/x et il ressort en portant dans x : x²+y²=x+y
    (x-1/2)² + (y-1/2)² =1/2
    qui est bien un cercle.
    je suis désolé d'avoir mal repondu à un énoncé qui n'était pas le bon

  36. #30
    Jeanpaul

    Re : Complexes ... très complexes...

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je suis désolé d'avoir mal repondu à un énoncé qui n'était pas le bon
    Ca arrive à des gens très bien : moi, par exemple.

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