[Probabilité] Dénombrement

[invite9a93ada1]

Bonjour à tous et à toutes !

Je suis en train de faire un exercice sur le dénombrement dont voici l'énoncé :

Dans une école primaire, on veut composer une équipe de football, constitué d' un gardien, 4 défenseurs, 4 milieux et 2 attaquants.
Il y a 27 élèves intéressés par le poste d'attaquant, 20 par le poste de milieux, 15 par le poste de défenseurs et 5 par le poste de gardien. On suppose que chaque élève ne sait jouer qu'à son poste de prédilection. Combien de groupes peut-on former ?

J'ai toujours un peu de mal au niveau de ces exercices afin de déterminer si le problème correspond à une permutation, un arrangement, une combinaison... Avez vous des conseils ou des techniques pour "repérer" la technique à appliquer ?

Je vous explique mon raisonnement.
Pour moi, 1 élève ne peut jouer qu'à un poste (donc pas de répétition/remise). De plus, si un élève joue à un poste d'attaquant, le groupe formé sera différent que s'il jouait en poste de défenseur (donc l'ordre est important).

ordre important=> Arrangement ou permutation (l'ordre n'est pas important pour une combinaison)
Or on veut un nombre d'élément précis parmi un ensemble, c'est donc un Arrangement.
Donc, je serais tenté de faire un produit d'arrangement (avec n=le nombre d'élèves pour le poste et k=le nombre de joueurs nécessaires).

Est ce juste ? Il y avait il un raisonnement plus rapide ?

Question que je me pose : S'il y avait possibilité de cumuler plusieurs postes, chaque élève aurait la possibilité de postuler à n'importe quel poste. Donc le nombre de groupe serait : (nombre d'élève total)^11. Est ce juste ? Ici, j'ai fais plus un raisonnement logique (l'ensemble des élèves peut postuler pour un même poste et comme il y en a 11 proposés...). Au niveau mathématiques, y a t-il un concept qui permette de retrouver ce résultat ?


Merci de votre aide !
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, je pense que tu te trompes, ici quand on te dis que chaque élève ne sait jouer qu'a son poste de prédilection, cela veut dire qu'il ne postule que dans une catégorie. Donc calcul les possibilités pour chaque catégorie, et multiplie tout ça.

RoBeRTo

[invite9a93ada1]

Bonjour,

Merci de votre réponse.

Donc si je calcule les possibilités de chaque catégories, on obtient :
(5)*(15*14*13*12)*(20*19*18*17 *15)*(27*26) ?

Est ce bien cela ?

Du coup, je me remets en cause, est ce que l'on pouvait utiliser les combinaisons (il n'y a pas vraiment d'ordre du coup) ?

Merci encore

[RoBeRTo-BeNDeR]

Attention, y a t'il de l'importance pour l'ordre de choix des joueurs au sein d'un même catégorie?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a93ada1]

Je ne pense pas qu'il y ait de l'importance pour l'ordre de choix des joueurs au sein d'une même catégorie.
Au final, ce qui compte, ce sont les possibilité de groupes possibles.

A quoi pensiez vous ?

Merci encore

[RoBeRTo-BeNDeR]

Par exemple pour les attaquants il y a 27 intéressés et 2 places, le résultat est donc (ou 2 parmi 27) et non pas car dans ce cas là tu donnes de l'importance à l'ordre.

[zoonel]

Bonjour à tous et à toutes !

Je suis en train de faire un exercice sur le dénombrement dont voici l'énoncé :



J'ai toujours un peu de mal au niveau de ces exercices afin de déterminer si le problème correspond à une permutation, un arrangement, une combinaison... Avez vous des conseils ou des techniques pour "repérer" la technique à appliquer ?

Je vous explique mon raisonnement.
Pour moi, 1 élève ne peut jouer qu'à un poste (donc pas de répétition/remise). De plus, si un élève joue à un poste d'attaquant, le groupe formé sera différent que s'il jouait en poste de défenseur (donc l'ordre est important).

ordre important=> Arrangement ou permutation (l'ordre n'est pas important pour une combinaison)
Or on veut un nombre d'élément précis parmi un ensemble, c'est donc un Arrangement.
Donc, je serais tenté de faire un produit d'arrangement (avec n=le nombre d'élèves pour le poste et k=le nombre de joueurs nécessaires).

Est ce juste ? Il y avait il un raisonnement plus rapide ?

Question que je me pose : S'il y avait possibilité de cumuler plusieurs postes, chaque élève aurait la possibilité de postuler à n'importe quel poste. Donc le nombre de groupe serait : (nombre d'élève total)^11. Est ce juste ? Ici, j'ai fais plus un raisonnement logique (l'ensemble des élèves peut postuler pour un même poste et comme il y en a 11 proposés...). Au niveau mathématiques, y a t-il un concept qui permette de retrouver ce résultat ?

Merci de votre aide !

Le conseil que je donnerais c'est d'utiliser le bon sens et la logique... mais sinon ce qui fonctionne bien si t'as un doute c'est d'essayer avec des petits nombres.
Imagine qu'il y ait 3 élèves et 2 postes, 1 d'attaquant et 1 gardien et reprenons la dernière question (cumul de plusieurs postes). Donc les 3 élèves peuvent jouer à n'importe quel poste, combien de groupe possible peut on former. On va appeler les élèves e1 e2 et e3, et on va faire toutes les possibilités:
attaquant/gardien:
e1/e2
e1/e3
e2/e1
e2/e3
e3/e1
e3/e2
donc 6 groupes possibles, maintenant reprenons le (nombre d'élève total)^11 qui donne dans notre cas 3^2=9. On voit bien que c'est trop mais pourquoi ? en fait dans le 3^2 on considère que le joueur peut jouer en même temps attaquant et gardien, on a les 6 groupes ci-dessus plus les 3 suivants: e1/e1 e2/e2 et e3/e3.
Attention quand même, les exemples ne sont pas des généralités, le cas avec 11 joueurs et les postes 1-4-4-2 est plus compliqué que mon exemple. D'ailleurs si tu comprends bien la réponse au premier problème, tu devrais trouver sans trop de difficulté la réponse à la question supplémentaire que tu te poses.

Dans une école primaire, on veut composer une équipe de football, constitué d' un gardien, 4 défenseurs, 4 milieux et 2 attaquants.
Il y a 27 élèves intéressés par le poste d'attaquant, 20 par le poste de milieux, 15 par le poste de défenseurs et 5 par le poste de gardien. On suppose que chaque élève ne sait jouer qu'à son poste de prédilection. Combien de groupes peut-on former ?

voici mon raisonnement:
On doit calculer le nombre de groupes possibles, sachant que chaque élève ne peut jouer que dans son poste de prédilection. On a donc 27 élèves pour 2 postes d'attaquant, 20 pour 4 postes de milieux, 15 pour 4 postes de défenseurs et 5 pour 1 poste de gardien. Donc choisir des élèves pour un poste en particulier ne va pas influencer le choix des élèves pour les autres postes, on est en présence d'indépendance et le nombre de groupe total est donc le produit du nombre de groupe pour chaque poste (en effet, à chaque groupe de gardien possible on peut associer chaque groupes possible de défenseur pour former un groupe différent de gardien/défenseurs et à chaque groupe de gardien/défenseurs on peut associer ...). On va donc calculer séparément le nombre de groupes possible pour chaque poste.
Le cas du gardien est facile, il y a 5 groupes possibles de gardien: 1 par élève.
Maintenant le cas des défenseurs, on doit choisir 4 défenseurs parmi 15 élèves ou encore prendre 4 objets parmi 15. Les élèves ne se clonent pas et donc si on prend 1élève on ne peut plus le reprendre -» sans remise. Choisir dans l'ordre benjamin, didier, kevin, jhon ou didier,benjamin,jhon,kevin ne change rien au groupe et donc -» sans ordre. Pas d'ordre pas de répétitions, c'est une combinaison simple; mais généralement rien qu'en lisant "choisir 4 défenseurs parmi 15 élèves" on sait de suite qu'il faut utiliser une combinaison.On a donc 15!/(4!.11!)= 1365 différents groupes de défenseurs possible. On peut aussi se dire, je choisis un premier élèves parmi les 15 puis un deuxième parmi les 14 restants puis un troisième parmi les 13 restants puis un 4ème parmi les 12 restants, ça donne 15!/11!= 32760 groupes ordonnés où par exemple le groupe sans ordre benjamin, didier, kevin, jhon se retrouve compté plusieurs fois suivant que le premier élève choisi soit didier ou jhon ou kevin ou benjamin et que le deuxième choisi soit un des 3 autres etc... il faut donc éliminer les groupes comptés en trop en divisant par le nombre possible de choisir 4 personnes parmi 4 avec ordre, ce qui donne 4! et on retombe sur la combinaison.
On fait de même avec les milieux et les attaquants, on multiplie le tout et on a notre réponse.

[invite9a93ada1]

Bonjour,

Merci RoBeRTo-BeNDeR et zoonel pour votre aide.

le résultat est donc (ou 2 parmi 27) et non pas 27*26 car dans ce cas là tu donnes de l'importance à l'ordre.

D'accord, je pense mieux comprendre la différence entre combinaison et arrangement

mais sinon ce qui fonctionne bien si t'as un doute c'est d'essayer avec des petits nombres.

Bon conseil, je vais le retenir (l'exemple est très parlant)

le cas avec 11 joueurs et les postes 1-4-4-2 est plus compliqué que mon exemple. D'ailleurs si tu comprends bien la réponse au premier problème, tu devrais trouver sans trop de difficulté la réponse à la question supplémentaire que tu te poses.

Votre raisonnement pour la 1ère question m'a fait comprendre des choses pour la question que je me posais.

En fait, je crois que je viens de cerner la "subtilité" et pourquoi (nombre total de joueur)^11 était faux. Quand je parle de cumuler des postes, cela veut dire qu'il est possible de postuler à plusieurs postes mais au final, un poste est attribué à un seul joueur. En écrivant (nombre total de joueur)^11, cela veut dire, qu'il y a une remise et donc des joueurs "clonés" sur le terrain, ce qui n'est donc pas possible (comme le e1/e1 dans votre exemple).
Il faut aussi penser que si e1 est attaquant, l'équipe formée sera différente que s'il est défenseur. Donc l'ordre est important.

Sachant qu'il y a 67 élèves, dès qu'il a été choisi à un poste, il ne peut plus repostuler.
Il y a donc 67 possibilités pour le gardien
(66*65*64*63) pour les défenseurs.

Au final, on trouve : (67)*(66*65*64*63)*(62*61*60*5 9)*(58*87).
Sans remise (au niveau des joueurs sur le terrain) + Ordre important, c'est donc un Arrangement.
Est ce bien cela ?

Merci encore de votre aide.

[zoonel]

Au final, on trouve : (67)*(66*65*64*63)*(62*61*60*5 9)*(58*87).
Sans remise (au niveau des joueurs sur le terrain) + Ordre important, c'est donc un Arrangement.
Est ce bien cela ?

non

on va faire simple, on a 2 postes de 2 places soit 2 attaquant et 2 défenseur. Et on a 5 élèves e1/e2/e3/e4/e5.
pour bien comprendre ta réponse, on va l'appliquer ici, soit (5*4)*(3*2) ce qui donne:

(e1 e2)(e3 e4)
       (e3 e5)
       (e4 e3)
       (e4 e5)
       (e5 e3)
       (e5 e4)
(e1 e3)(e2 e4)
       (e2 e5)
       (e4 e2)
       (e4 e5)
       (e5 e2)
       (e5 e4)
(e1 e4)(e2 e3)
       (e2 e5)
etc...

y'a 120 possibilités et je vais pas tous les écrire, mais on peut quand même voir des choses intéressantes. Si on commence par (e1 e2) c'est-a-dire qu'on fixe le (5*4), il reste (3*2) soit 6 possibilités pour le second poste; on voit clairement que l'ordre est important car on y retrouve (e3 e4) et (e4 e3) mais est-ce bien ce qu'on cherche ? de même qu'on retrouvera (e2 e1) dans les 5*4 possibilités du premier poste.
Faire (5*4)*(3*2) ou (5*4*3*2) revient au même est c'est le nombre de façons de disposer 4 élèves parmi 5 en rang ordonné.
Avec ce même exercice simplifié peux-tu énumérer toutes les possibilités que tu cherches pour tes équipes ? Pas faire des calculs mais simplement faire une liste de tous les groupes possible (y'en a pas tant que ça).

[invite9a93ada1]

Bonjour,

Merci de votre correction (j'étais sûr d'avoir juste cette fois)

on voit clairement que l'ordre est important car on y retrouve (e3 e4) et (e4 e3) mais est-ce bien ce qu'on cherche ?

Peut être que je me suis trompé sur la notion d'ordre en fait.
Pour moi, à la base ce que je pensais, comme on peut choisir de postuler à plusieurs postes, si e1 est attaquant ou défenseur, cela aura un impact sur l'équipe finale (donc deux équipes différentes)
Par rapport à votre remarque, je crois qu'il faut maintenant considérer un ordre important au niveau de chaque poste différent mais pas au niveau d'un même poste (par exemple, (e3 e4) revient au même que (e4 e3) pour le même poste considéré).
Donc du coup, c'est un peu bizarre car on considère l'ordre et on ne le considère pas.

Avec ce même exercice simplifié peux-tu énumérer toutes les possibilités que tu cherches pour tes équipes ? Pas faire des calculs mais simplement faire une liste de tous les groupes possible (y'en a pas tant que ça).

C'est à dire, vous voulez que je fixe 2 postes (par exemple pour les attaquants) et que je regarde les combinaisons possibles avec les 65 autres élèves ?

Merci encore

[zoonel]

Avec ce même exercice simplifié peux-tu énumérer toutes les possibilités que tu cherches pour tes équipes ? Pas faire des calculs mais simplement faire une liste de tous les groupes possible (y'en a pas tant que ça).
C'est à dire, vous voulez que je fixe 2 postes (par exemple pour les attaquants) et que je regarde les combinaisons possibles avec les 65 autres élèves ?

Je voudrais avoir une énumération de tous les groupes possibles pour l'exemple simplifié. C'est-à-dire avoir la liste de toutes les équipes différentes possible de 2 attaquants et 2 défenseurs qu'on puisse faire avec 5 élèves (e1 e2...e5).
Fais ceci et essaie de voir ce que représente l'ordre et si il est présent, compare avec la liste obtenue si on avait fais le calcul (5*4)*(3*2).

En fait l'erreur commise est exactement la même que celle commise lors de l'exercice original et c'est bien au niveau de la notion d'ordre qu'il y a confusion. Il faut se poser la question de comment on forme les équipes, comment on attribue un poste à un élève et à partir de la en déduire si il y a ordre ou pas et répétition ou non.