[Probabilité] Démonstration Cardinalité et Combinaison

[invite9a93ada1]

Bonjour à tous et à toutes !

C'est encore moi et mes problèmes au niveau des exercices de dénombrement.
Cette fois-ci, je bloque sur deux démonstration


1ère démonstration :

Je dois montrer cette formule :


(Car(E) =n et P(E), l'ensemble des parties de E)

Pour ce faire, on me propose d'utiliser cette formule :
et on me conseille de choisir une partition bien spécifique de P(E).

Au départ, je pensais utiliser la récurrence mais l'exercice ne semble pas m'orienter dans cette direction.
Je pense, qu'ici, la notion de partition est importante. Je sais qu'une partition vérifie deux conditions (l'union des parties est égales à l'ensemble de départ et l'intersection correspond à l'ensemble vide). Après, il parle d'une partition bien spécifique, donc quelque chose de bien "particulier". Donc, je pensais à l'ensemble vide mais par convention, il me semble qu'on ne le considère pas comme une partition. Donc, je ne vois pas trop comment avancé.

2ème démonstration :

Je dois montrer que le nombre de parties de j éléments d'un ensemble de n éléments est égal à

Ce qui me gêne ici, c'est que c'est la définition même d'une combinaison. J'avais pensé à utiliser un autre résultat de cours à savoir que . Mais bon, cela ne m'avance pas vraiment et je n'ai pas d'autre idées.


Merci d'avance pour votre aide.
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[gg0]

Bonsoir.

1) signification ensembliste de ?
2) A faire avant l'autre. Si c'est ta définition, tu aas fini ! Si tu en as une autre, il faut voir.

Inutile de chercher compliqué, ces deux questions, dans l'ordre 2 puis 1 sont simples.

Cordialement.

[invite14e03d2a]

Pour compléter la réponse de gg0: parfois, un même objet mathématique a plusieurs définitions équivalentes. Par exemple, peut être défini comme le nombre de parties à j éléments d'un ensemble à n éléments. Dans ce cas, il n'y a rien à faire! Alternativement, on peut définir et là, la question 2) nécessite une vraie démonstration.

Comment est défini dans ton cours?

[invite9a93ada1]

Bonjour,

Je vous remercie de votre réponse.

Dans mon cours, je possède les deux définitions (celle avec le nombre de partie et la formule avec les factorielles).
Je ne pense pas que la définition suffit mais que je dois plutôt faire une démonstration.

Vous semblez m'orienter de la question 2 vers la 1 (pourtant, ce sont deux exercices indépendants).

Merci d'avance pour votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a93ada1]

Bonjour,

Si vous pensez qu'il manque des éléments dans mon problème ou un point mal expliqué, je peux essayer de reformuler.

Merci d'avance.

[gg0]

C'est bizarre que tu sois encore bloqué sur ces exercices très simples.

Pour le premier on t'a donné le "truc", qui était déjà indiqué par la définition que tu as de . Tu sembles par contre ne pas savoir ce que c'est qu'une partition (confondrais-tu avec "partie" ??) : Une partition d'un ensemble E est un ensemble de parties de E, chacune non vide, disjointes et dont la réunion est E. Par exemple on obtient une partition de l'ensemble des nombres entiers en prenant l'ensemble des pairs et l'ensemble des impairs. Toi, il te faut une partition utile de l'ensemble des parties de E. Et comme il est question de parties dont on connaît le nombre d'éléments ... et que l'indice de la somme est aussi ce nombre d'éléments ...

Quant au deuxième, je ne sais pas ce que tu as à faire. Car on te demande de prouver un résultat de cours. Soit tu as la preuve dans ton cours, et tu la copies, soit tu construis la preuve en admettant que est défini autrement, par exemple par les factorielles. dans ce dernier cas, une preuve par récurrence se fait bien, mais à toi de faire ...

Cordialement.

[invite9a93ada1]

Bonjour,

Merci de votre réponse.

Quant au deuxième, je ne sais pas ce que tu as à faire. Car on te demande de prouver un résultat de cours. Soit tu as la preuve dans ton cours, et tu la copies, soit tu construis la preuve en admettant que est défini autrement, par exemple par les factorielles. dans ce dernier cas, une preuve par récurrence se fait bien, mais à toi de faire ...

Entendu, je vais tenter la récurrence, merci.

il te faut une partition utile de l'ensemble des parties de E.

Oui, oui, je pense avoir compris ce qu'est une partition. Par contre, je n'avais pas pensé à l'astuce avec l'indice et le nombre d'élément, merci. Je peux connaître aussi les éléments grâce à la formule. Je remarque que l'élément E contient des nombres paires et impaire (2^0=1). Je serais tenter de séparer le singleton 1 et les nombres pairs.
En quoi le choix d'une partition me donne des informations sur la cardinalité ?
Je crois qu'il y a quelques choses qui m'échappent en fait.

Merci

[gg0]

Non,

tu n'as toujours pas compris ce qu'est une partition, et tu ne sais pas vraiment le sens des mots que tu écris ("l'élément E" ??) ni des phrases (incompréhensible : "l'élément E contient des nombres paires et impaire") que tu écris.

Il s'agit ici simplement de compter ! Comment peux-tu compter le nombre des parties de E, quand tu sais déjà compter le nombre de parties à 0 élément, de parties à 1 élément, de parties à 2 éléments, ... ?

Reste simple, ce que tu dois démontrer est quasi évident !!!

[inviteaf1870ed]

E n'est pas forcément un ensemble de nombres, donc tu risques d'avoir des difficultés à séparer les éléments pairs et impairs.
Le plus simple est de regarder ce qui se passe sur un exemple : prends un ensemble E à 4 éléments, et liste toutes les parties...