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Démonstration: f(x) est une densité de probabilité



  1. #1
    Lighter

    Démonstration: f(x) est une densité de probabilité


    ------

    Bonjour à toutes et à tous,
    Mon problème est le suivant: mon professeur m'a demandé de préparer un petit exposé pour la classe dans lequel j'expliquerais la démonstration que la fonction d'erreur est une densité de probabilité. Il m'a donné la démonstration mais certaines étapes me restent incompréhensibles. Si vous pouviez m'aider...

    Dans le fil de la démo, il faut prouver que:


    Mais là je ne suis plus trop:



    C'est quoi ce machin? Le produit de deux intégrales vaudrait la double intégrale du produit??

    Ensuite, on passe à un systéme de coordonnées polaires avec x=r cost, y=r.sin t (ok, je connais les polaires) mais dy dx= r. dt dr (là je ne comprends pas du tout pourquoi on multiplie dt dr par r. Tout ce que je sais, c'est que pour intégrer une fonction polaire de la forme r=f(t), j'utilise la formule:



    On a donc selon le livre:



    Nouvelles interrogations: comment fait-on disparaître si simplement la première intégrale??

    Ensuite, la deuxième intégrale est facilement compréhensible

    Voilà, si vous pouviez éclairer ma lanterne, ce serait aimable

    -----
    Dernière modification par homotopie ; 10/05/2008 à 18h03. Motif: fusion de deux fils sur le même sujet

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  3. #2
    Coincoin

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    Salut,
    C'est un exercice classique, dont la solution est détaillée dans l'article de Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_gauss
    L'idée est de calculer I² plutôt que I, puis de passer en coordonnées polaires, ce qui donne quelque chose de calculable.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    homotopie

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    Merci d'éviter les doublons.
    Les deux posts sont fusionnés. Leur fusion est déplacé en mathématiques du supérieur car c'est tout de même au-dessus du niveau lycée.

  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    Salut
    Citation Envoyé par Lighter Voir le message
    Ensuite, on passe à un systéme de coordonnées polaires avec x=r cost, y=r.sin t (ok, je connais les polaires) mais dy dx= r. dt dr (là je ne comprends pas du tout pourquoi on multiplie dt dr par r.
    Lors du changement de variable , la théorie nous dit que désigne le déterminant de la matrice jacobienne . Si on se contente de remplacer par , on oublie le terme et l'égalité est fausse...

    La matrice jacobienne étant définie par , le calcul de son déterminant donne . C'est pour cela qu'il y a un terme qui intervient lors du changement de variables.
    On a donc selon le livre:



    Nouvelles interrogations: comment fait-on disparaître si simplement la première intégrale??
    On a séparé ce qui dépend de de ce qui dépend de pour pouvoir intégrer :

    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 10/05/2008 à 18h19.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Lighter

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    Merci beaucoup Flyingsquirrel pour ces explications!

    Je pense que je zapperai l'explication du déterminant de la matrice jacobienne pour l'explication à la classe sans quoi ça va devenir plutôt complexe^^ (je ne suis qu'en sixième ou plutôt en première comme vous dites en France - je suis Belge- et ça dépasse un peu de la matière).

    J'ai encore deux questions:

    si j'avais eu une double intégrale avec par exemple "liés" (un produit par exemple), comment aurais-je séparé les deux intégrales?

    Ensuite, quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi on peut dire qu'un produit d'intégrale vaut la double intégrale du produit? C'est une règle? On est dans un cas particulier?

    Désolé pour toutes ces questions peut-être bêbêtes pour vous mais mon prof a pas été très gentil avec cet exposé

  8. #6
    Flyingsquirrel

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    Citation Envoyé par Lighter Voir le message
    si j'avais eu une double intégrale avec par exemple "liés" (un produit par exemple), comment aurais-je séparé les deux intégrales?
    Ça dépend des cas. Si on a quelque chose comme la séparation est possible, si c'est plutôt comme on ne peut pas faire grand chose... Dans cette situation, on aurait choisi un autre changement de variables afin d'obtenir un résultat exploitable. (si tant est que ça soit possible...)
    Ensuite, quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi on peut dire qu'un produit d'intégrale vaut la double intégrale du produit? C'est une règle? On est dans un cas particulier?
    C'est justement parce que l'on a réussi à séparer et . Une intégrale double est en fait la composition de deux intégrales simples :


    Le terme ne dépendant pas de , on peut le sortir de l'intégrale intérieure.



    L'intégrale intérieure ne dépendant pas de , on a le droit de la sortir de la seconde intégrale :


    Ça n'aurait pas été possible si, par exemple, au lieu d'avoir , on avait eut ...
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 10/05/2008 à 21h04.

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  10. #7
    Lighter

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    Aah, ça se clarifie

    Je te remercie pour ton aide car je pense avoir quasiment tout compris Je vais encore un peu me documenter sur le sujet demain, grâce au lien de homotopie, et je verrai si j'ai encore des questions.

    Bonne soirée!

  11. #8
    Lighter

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    Bonsoir et désolé d'encore vous importuner mais j'ai une nouvelle question.
    Pour vérifier ma bonne compréhension des intégrales multiples, j'ai essayé de calculer l'aire du cercle de cette manière mais je n'arrive à rien.
    Si quelqu'un pouvait m'indiquer l'erreur...



    Je passe en coordonnées polaires en remplaçant x²+y² par r², dy dx par r dt dr et j'obtiens ceci après avoir adapté les bornes:



    Et donc,



    Bref, pas besoin d'aller plus loin pour constater que je ne tomberai jamais sur l'aire du cercle

  12. #9
    Coincoin

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    Salut,
    Le problème c'est que tu intègres sur le domaine -R<xR et --R<y<R, ce qui n'est pas un cercle mais un carré.
    Une manière de faire serait de dire par exemple que ce que tu cherches vaut
    Encore une victoire de Canard !

  13. #10
    Lighter

    Re : Démonstration: f(x) est une densité de probabilité

    OK merci bcp.

    Je vais me coucher donc c'était ma dernière intervention avant mon exposé.

    Bonne nuit à toutes et tous

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