Démonstration probabilité Ts

[invite3a92b465]

Bonjour à tous,

Je sèche un peu sur une question d'un exercice de probabilités.
Voici l'énoncé et la dite question.

"Une association de consommateurs décide d'étudier la consommation des forfaits de téléphone portable.
Elle constate que si une personne dépasse son forfait un mois, la probabilité qu'elle dépasse le mois suivant est 1/5 et que si cette personne n'a pas dépassé son forfait un mois la probabilité qu'elle dépasse le mois suivant et 3/5.

Le premier mois l'inexpérience des consommateurs donne 75% de dépassements. On notera Dn l'événement "la personne dépasse son forfait le mois n" et Dn(barré) son contraire.

On note Pn la probabilité de l'événement p(Dn).
Montrer que: P(n+1) = (-2/5)Pn + 3/5 "

Il y avait quelques questions avant mais elles ne servent à rien pour celle-ci.

Je vous remercie de bien vouloir me montrer la piste à suivre.

Merci à tous
-----

[invite0a90f7a2]

Bonsoir,
l'énoncé vous donne une loi conditionnelle P(D_{n}|D_{n-1})
avec d "la personne dépasse son forfait", \overline{d} l'événement opposé
P(D_{n}=d)+P(D_{n}=\overline{d })=1
on a :
P(D_{n}=d|D_{n-1}=d) = 1/5
P(D_{n}=d|D_{n-1}=\overline{d}) = 3/5
L'objectif consiste à exprimer P(D_{n}) en fonction de P(D_{n-1}) en tenant compte de l'énoncé c'est-à-dire de la loi conditionnelle...
1/ exprimer la loi conjointe P(D_{n},D_{n-1}) en faisant apparaître la loi conditionnelle (une égalité)
2/ marginaliser à gauche et a droite de l'égalité précédente sur la variable aléatoire D_{n-1}
pour obtenir : P(D_{n}) = \frac{-2}{5} P(D_{n-1}) + \frac{3}{5}

[invite3a92b465]

J'ai mis un peu de temps à comprendre tout ce que tu as écrit...

J'ai fait quelques recherches pour la loi conjointe, il faut que je fasse un tableau pour avancer?
Et pour la loi conditionelle, ça ne me dit rien non plus...

Enfin, voilà je suis un peu perdu.
Merci de ta réponse t_188
à bientôt

[invite0a90f7a2]

voici pour t'aider un peu plus
1/ exprimer la loi conjointe $P(D_{n},D_{n-1})$ en faisant apparaître la loi conditionnelle (une égalité)
$P(D_{n},D_{n-1}) = P(D_{n}|D_{n-1}).P(D_{n-1})
2/ ce qui nous intéresse c'est $P(D_{n}$, il suffit de faire disparaître $D_{n-1})$.
On a, résultat général, $P(D_{n}) = \sum_{D_{n-1}} P(D_{n},D_{n-1})$
Tu remplaces par le conditionnement de 1/
$P(D_{n}) = \sum_{D_{n-1}} P(D_{n}|D_{n-1}). P(D_{n-1})$
Retour au problème :
$P(D_{n}=d) = P(D_{n}=d|D_{n-1}=d).P(D_{n-1}=d) + P(D_{n}=d|D_{n-1}=\overline{d}).P(D_{n-1}=\overline{d})$
$P(D_{n}=d) = 1/5 P(D_{n-1}=d) + 3/5 P(D_{n-1}=\overline{d})$
mais qqsoit n : $P(D_{n}=\overline{d}) = 1-P(D_{n}=d)$
On obtient alors :
$P(D_{n}=d) = 1/5 P(D_{n-1}=d) + 3/5(1-P(D_{n-1}=d)$
soit
$P(D_{n}=d) = -2/5 P(D_{n-1}=d) + 3/5$

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3a92b465]

En fait, j'ai vraiment du mal avec tes notations que je ne connais pas encore...

N'y a t'il pas un moyen plus simple pour comprendre?

Merci encore de ta patience