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Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires



  1. #1
    Antoine D.

    Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires


    ------

    Bonjour tout le monde !

    Je suis en train de préparer un article scientifique et j'ai un petit problème de proba (qui n'est pas ma spécialité) qui m'embête depuis plusieurs jours.
    Lénoncé est très simple:
    J'ai 4 variables aléatoires indépendantes de loi uniforme dans [0,w].
    Appelons ces variables X1, Y1, X2 et Y2;
    J'aimerais déterminer la densité de la variable aléatoire D définie par:


    Bien sûr j'ai fait des recherches et j'ai trouvé la formule de changement de variable mais elle ne s'applique pas ici puisqu'on ne peut évidemment pas inverser la fonction f (X1, Y1, X2, Y2) = sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2).
    Est-ce qu'il n'existe pas de formule générale ?

    En vous remerciant bien.
    Cordialement,
    Antoine.

    -----

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  3. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires

    salut,

    en principe c'est tout simple: il faut intégrer la densité conjointe de X1, X2, X3, X4 sur un ensemble D=constant. La densité conjointe est particulièrement simple: c'est 1/w^4 mais D=constant l'est moins.

  4. #3
    Antoine D.

    Re : Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires

    Salut ambrosio, merci pour ta réponse.

    Affectivement ça paraît logique.
    Je vais essayer de trouver les ensembles D=constante alors mais c'est pas gagné parcequ'en fait j'ai grandement simplifié D dans ma question par rapport à mon problème.

    Antoine.

  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires

    Oops, je devais être fatigué hier.. enfin on dira ça par charité. Bien sûr qu'il ne faut pas intégrer la densité de (X,Y) (pour simplifier) sur l'ensemble f(x,y)=z pour avoir ladensité de Z=f(X,Y)!!! d'ailleurs l'intégrale d'une fonction sur un ensemble de mesure nulle a toutes chances d'être nulle

    ce qu'il faut faire, c'est intégrer sur l'ensemble f(x,y)<z de façon a obtenir la fonction de répartition de Z, puis la dériver pour avoir la densité.

    si on ne trouve pas un changement de variables judicieux qui rende cet ensemble quelque peu sympathique, ça peut être galère.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Antoine D.

    Re : Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires

    Salut ambrosio

    Merci pour cette précision, en fait j'avais compris l'idée sans me rendre compte que l'explication n'était pas tout à fait exacte.
    Je pense que ça se fera bien dans ce cas car l'ensemble f(x,y)<z est convexe.
    Je posterai la solution ce week-end !

    Antoine.

  8. #6
    Antoine D.

    Re : Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires

    Salut,

    Comme promis je poste la solution pour ceux que ça peut intéresser.
    Le problème est donc de donner la fonction de densité de la distance entre deux points positionnés aléatoirement dans une image de taille w*w.

    Ce n'était pas difficile mais faut bien penser à répertorier les 3 cas différents pendant l'intégration.
    Je me limite à .
    La partie de la courbe d>w/2 se détermine de la même façon...

    Il y a trois intégrales à calculer.

    1) Les réalisations (x1,y1) ne sont pas près d'un bord (dans [d,w-d]*[d,w-d]):


    (ce cas était évident, c'est simplement l'aire du disque de rayon d fois l'aire de la zone de présence de (x1,y1))

    2) Les réalisations (x1,y1) sont près d'un bord mais pas d'un coin. (je prends le bord "x1 petit", les 3 autres cas auront la même valeur)




    3) Les réalisations (x1,y1) sont près d'un coin (dans [0,d]*[0,d]). les 3 autres coins auront la même valeur également.



    Densité: (à un coeff multiplicateur près)
    On dérive le tout par rapport à d:



    Sauf faute de frappe il ne devrait pas y avoir d'erreur car j'ai lancé une simulation qui a "matché" parfaitement.

    Dessin de la densité pour w=100:



    Antoine.

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  10. #7
    David_2510

    Re : Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires

    Bonjour a tous,

    voila, j'ai un petit probleme de proba moi aussi. J'ai une fonction qui depend de plusieurs variables. Pour chacne de ces variables, je connais leur loi de ditribution. Je cherche a definir la loi de repartition de ma fonction F
    disons que F= R*w*E*I².
    Comment dois-je proceder pour trouver
    P(F=f)?

    Jusqu'a present, je prends des valeurs aleatoires de R, W..., j'en deduis la valeur F, et la probabilité P(F) = f(R)*f(w)*f(E)*f(I)² avec f(x) la loi de distributon associée. j'ai de gros doute sur cette formulation..

    Ca ressemble pas mal au probleme d'Antoine D ci dessus, mais dans sa reponse, je ne vois nul part ou intervient la loi de repartition des ces variables x1, y1, x2, y2.
    J'avoue n'avoir que de tres vague notions en proba...alors merci d'avance

    David

  11. #8
    Ctmu

    Re : Probabilité: densité d'une combinaison de plusieurs variables aléatoires

    Bonjour,
    Certes cette discussion remonte à de nombreux mois mais c'est aujourd'hui qu'elle m'est utile !
    J'aurais 2 questions :
    1) Antoine, si tu as publié ton article, pourrais-tu me fournir ses réf. (je souhaiterais réutiliser ton calcul). Pour info, ma simulation du pb (positions aléatoires de points sur une surface équiprobable puis calculs des distances : car je ne savais pas le résoudre analytiquement) donne une distribution des distances semblable à celle calculée.
    2) Les explications d'Antoine et d'Ambrosio sont claires et m'ont permis de suivre le raisonnement. Mais je bloque sur le calcul des intégrales multiples (dès que je me retrouve avec du X1 et X2 dans l'intégrale et non plus dans les bornes). J'ai l'impression qu'il me manque un raisonnement "géométrique" pour simplifier. Si quelqu'un peut m'aider...
    Merci d'avance,
    Cyrille

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