Sous-espace rationnels

[taladris]

Bonjour,

Dans , on dit qu'un sous-espace vectoriel est rationnel s'il admet une base composée d'éléments de (ou de manière équivalente, d'éléments de ). Cela signifie que est un sous-module de de rang égal à la dimension du sev. Par convention, est rationnel.

Si E est un sous-espace vectoriel quelconque de , je note a(E) (resp. b(E) ) la dimension du plus grand sev rationnel de contenu dans E (resp. le plus petit sev rationnel de contenant E).

Mes questions:
1) Comment calculer b(E) et c(E)? Je recherche plus particulièrement un algorithme s'il existe. Mes "entrées" pour l'algorithme sont une base de E, ou bien un système d'équations.

Quitte à changer E pour son orthogonal (pour le produit scalaire euclidien), on peut supposer E de "petite" dimension (inférieur à n/2) mais je ne pense pas que cela soit utile.

2) Il est clair que . D'après un article, tous les cas sont possibles. Comment construire un exemple des différents cas? J'ai quelques idées sur la construction mais je bloque sur la vérification à cause de ma première question.

Merci d'avance.
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[taladris]

Désolé pour le double post. Il faut lire dans le précédent:

Si E est un sous-espace vectoriel quelconque de , je note b(E) (resp. c(E) ) la dimension du plus grand sev rationnel de contenu dans E (resp. le plus petit sev rationnel de contenant E).

[Médiat]

Bonjour,

Vous cherchez des exemples qui marchent pour tout n, ou peut-on choisir n, parce que dans ce dernier cas, il y a des exemples très simples avec n = 2 ?

[taladris]

Il y a encore une erreur! La question 2) est plutôt:

Bonjour,

2) Il est clair que (*). De plus, est rationnel si et seulement si . Sinon, on a et, d'après un article, tous les cas sont possibles (en tenant compte en plus de la relation (*)). Comment construire un exemple des différents cas? J'ai quelques idées sur la construction mais je bloque sur la vérification à cause de ma première question.

@Mediat: oui, j'aimerais un exemple pour tout n. Pour n petit (n=2 ou n=3), ce n'est pas très dur. En fait, c'est vraiment la question 1) qui m'intéresse.

[A voir en vidéo sur Futura]