Calcul intégrale double avec double changement de variable

inviteef80dea9 · 14/10/2012, 18h01

Bonjour,

Je viens vous demander de l'aide pour un exercice de doubles intégrales qui me pose pas mal de soucis.

Voici l'énoncé :
Calculer
$I=\int\int_D exp{-(x^2+xy+y^2)}dxdy\,avec\,D = (x,y) | x^2+xy+y^2\leq1$
en utilisant les changements de variables succesifs :
$x+y=u\\x-y=v$
puis
$u=arcos\phi\\v=brsin\phi$
ou a et b sont convenablement choisis.

Je fais donc le premier changement de variable et j'obtiens :
P1010538.JPG
$I=\frac{-1}{2}\int\int_\Delta exp{-(\frac{3}{4}u^2+\frac{1}{4}v^2)}dudv\,avec\,\Delta = (u,v)\,|\,\frac{3}{4}u^2+\frac{1}{4}v^2\leq1$

Déjà, je suis pas sur de mon premier changement de variable, j'ai un doute concernant le jacobien, est-il bien hors de l'exponentielle ou dans l'exponentielle (ce qui voudrait dire que je ne pourrais pas sortir le -1/2) ?

Ensuite, j'arrive donc à un domaine elliptique :
P1010540.JPG

Et là, je bloque. Dans les précédents exercices, quand on arrivait à ce type de domaine, on faisait un changement de variable pour se ramener sur un cercle.
Je pose donc :
$U=\frac{sqrt(3)}{2}u\\V=\frac{1}{2}v$ pour avoir $\Delta'=(U,V)|U^2+V^2\leq1$
Mais dans ce cas, j'enlève les variables (u,v) données par l'exercice et je ne sais alors plus quand faire le deuxième changement de variable...

Et si je fais le deuxième changement de variable directement après le premier, j'obtiens :
P1010541.JPG
Et qui donnera un domaine complexe dont je ne pourrais pas tirer grand chose.

Comment dois-je m'y prendre pour le deuxième changement de variable ?

Merci de votre aide.

inviteef80dea9 · 14/10/2012, 19h22

Finalement, je me demande si "a et b convenablement choisis" voudrais pas dire que je peux fixer a et b.
Parce que en faisant mon deuxième changement de variable directement, j'obtiens :

$I=\frac{-1}{2}\int\int_\delta exp{-(\frac{3}{4}a^2r^2cos^2{\phi}+\frac{1}{4}b^2r^2sin^2{\phi})}abrdrd\phi\,avec\,\delta = (r,\phi) | 0\leq r\leq1\,et\,0\leq\phi\leq2\pi$

Et là, je constate que en posant $a=\frac{2}{\sqrt{3}}\,et\,b=2$ je simplifie l'expression de l'exponentielle :

$I=\frac{-1}{2}\int\int_\delta exp{-r^2}abrdrd\phi$

Ce qui me simplifie grandement la chose, le domaine est rectangulaire et à variables séparées.
Est ce que ça pourrait être juste ?

inviteef80dea9 · 14/10/2012, 19h45

Je pense avoir trouvé. Il y a juste une erreur au premier jacobien, c'est la valeur absolu, donc 1/2 au lieu de -1/2.

Et avec le calcul final, j'obtiens :
$I=\frac{2\pi}{sqrt{3}}*(1-e^{-1})$

Si quelqu'un pouvait me confirmer que la démarche tient la route, ce serait sympa.

**QueNenni** · 21/10/2012, 10h53

j'ai vérifié la résolution : c'est bon ; et... j'ai recopié l' exercice dans mon classeur.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteef80dea9 · 21/10/2012, 12h07

Merci pour la confirmation.

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