Calculs de dérivées

[invitefd3c8bd7]

Bonsoir, pouvez-vous m'aider à déterminer les dérivées suivantes s'il vous plaît ?

a)f est définie sur [0;+infini[ par f(x)=racine ((x+1)/x²+2))
b) g est définie sur R par g(x)=(5x+2)²/(x²+1)

Merci d'avance pour votre aide.
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[phys4]

Bonjour,

Nous ne pouvons pas vous donner directement la réponse, car nous sommes là pour vous aider à comprendre.
Il faut appliquer les relations de bas que vous avez appris :
dérivée d'une racine -->

dérivée d'un rapport u/v -->

[invitefd3c8bd7]

Donc d'abord je dois dérivées les deux racines et ensuite dérivée en faisant u/v pour le a) ?

[invite936c567e]

Bonjour

Oui, tu es sur la voie...

La dérivation est un travail qui n'exige que quelques réflexes et de la méthode.

Pour dériver une fonction, il faut avoir le réflexe de décomposer son expression en une combinaison de fonctions plus simples dont on connaît le principe de dérivation.


Comme l'a suggéré phys4, quand on a :
¨ ¨

1. Il faut commencer par y reconnaître une fonction de la forme :
¨ ¨
qu'on sait dériver en :
¨ ¨

(NB: il ne s'agit que d'un cas particulier de la dérivation de x^a, qui donne a.x^a-1, où a=½)

Ici, on identifie :
¨ ¨
dont on a besoin de déterminer la dérivée u'(x) qui apparaît dans l'expression de f'(x).

2. Ensuite, dans l'expression de u(x), il faut reconnaître une fonction de la forme :
¨ ¨
qu'on sait dériver en :
¨ ¨

(NB: on peut retrouver ce résultat en considérant que le quotient p(x)/q(x) est égal au produit p(x).q(x)^-1, ce qui transforme le problème de la dérivée d'un quotient en un problème de dérivée d'un produit et de dérivée d'une puissance constante. Il est toutefois préférable d'apprendre par cœur la dérivée du quotient.)

Ici, on identifie :
¨ ¨
et :
¨ ¨
dont on a besoin de déterminer les dérivées p'(x) et q'(x) qui apparaissent dans l'expression de u'(x).

3. Les dérivations de p(x) et q(x) sont triviales, et s'obtiennent à l'aide du principe de dérivation des puissances constantes (x^a)'=a.x^a-1.

L'obtention de p'(x) et q'(x) permet, en remontant les étapes, de reconstituer l'expression de f'(x).

[A voir en vidéo sur Futura]