Bonjour à tous,
Je suis étudiant en première année de prépa intégrée en école d'ingénieurs, et j'aimerais savoir si quelqu'un pourrait me donner un coup de main, concernant un exercice de logique se présentant comme suit :
Soient E un ensemble, A, B et C des parties de E. Montrer que :
A inter B = A inter C
} impliquent que : B = C
A - B = A - C
Bonjour.
Avec un petit dessin la preuve est assez évidente. Le rapport entre A, A inter C et A-C se voit immédiatement.
Cordialement.
NB : parfois, réfléchir un peu soi-même avant de poser une question sur un forum est préférable !!
J'ai bien réfléchi avant de poser cette question, seulement :
Pour "A inter B = A inter C", effectivement avec un petit dessein et en "traduisant" l'égalité, on voit bien que les intersections entre A et B, et A et C, sont de la "même taille", et sachant que A "reste" le même, B et C ne peuvent être qu'égaux, je me suis juste dit qu'il était trop évident d'écrire directement que :
A inter B = A inter C implique que B=C
Je me suis donc dit q'on devait, au moins passer par une étape intermédiaire. Je ne sais pas si mon raisonnement est exact, c'est la première fois que j'aborde un tel chapitre en maths, le côté "logique", étant un peu plus complexe que ce qu'on a vu en probas en classe de terminale.
Cordialement, merci.
ton intuition est bonne
regarde: considérons l'équation caractéristique f(x) qui à tout élément x d un ensemble quelconque E associe: (f(x)=1 si x appartient à E
(f(x)=0 si x n'appartient pas a E
f(AinterB)=f(A)f(B)
f(AinterC)=f(A)f(C)
donc AinterB=AinterC équivaut a f(A)f(B)=f(A)f(C) ainsi f(B)=f(C) donc B=C
A-B=A-B équivaut a A-B=A-C car B=C
Merci beaucoup, ça m'aidera à résoudre le reste de l'exercice
Beradma,
Si ton énoncé est bien
c'est faux (Prends A=[-1;1], B=[0;2], C=[0;5] comme contre exemple)
Par contre :
est correct, et d'ailleurs assez évident. C'est ce que j'avais cru lire dans ton premier message.
De même,
oùdésigne la différence symétrique est correct.
Cordialement.
NB : la preuve de Misterm est évidemment fausse, je te laisse voir où (si tu ne trouves pas demande).
l'énoncé exact est (AinterB)=(AinterC) implique B=C et ensuite il faut montrer que A-B=A-C. Dans ces conditions la solution est correct.
Cette implication est fausse, et c'est évident. Sauf si tu as d'autres conditions.l'énoncé exact est (AinterB)=(AinterC) implique B=C
La démonstration de Misterm est fausse, là :
f(A)f(B)=f(A)f(C) ainsi f(B)=f(C)
Prends A={1,2,3}, B={1,5,6} et C={1,4,7} des sous ensembles de E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Il semble évident que B n'est pas égal à C, non ? Et pourtant (AinterB)=(AinterC) !!
(f(A)f(B))(x) vaut 0 sauf pour x=1. (f(A)f(C))(x) vaut 0 sauf pour x=1. Mais f(B)(x) n'est pas égale à f(C)(x) pour x=4,5,6 et 7. Ce qui n'empêche pas (f(A)f(B))(x) d'être égal à 0 donc à (f(A)f(C))(x) puisque f(A)(x)=0.
En fait, le produit de deux fonctions peut être nul sans qu'aucune des deux fonction ne soit nulle : Il suffit que les valeurs où elles sont non nulles soient toutes différentes.
Cordialement.
NB : Tu les sors d'où tes exercices faux ?
C'est faux si B et C ne sont pas inclus dans A. Prend par exemple A = {1,2}, B={1,3} et C = {1,4}l'énoncé exact est (AinterB)=(AinterC) implique B=C et ensuite il faut montrer que A-B=A-C. Dans ces conditions la solution est correct.
A inter B = {1} = A inter C, mais B est différent de C
