topologie, convergence et limite

[invitef7cb9c5c]

Bonjour,
Comment montrer qu'un espace métrique X de distance d((xn),(yn))= somme de oà n (1/2ⁿ (min {1, lxn-ynl)}
en utilisant une suite X^p_n et avec l'hypothèse que si X^p_n converge ]_n EST COMPLET
je vois pas bien par où commencer
merci de me donner une piste
fifrelette
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[invite76543456789]

Bonjour!
De montrer quoi exactement? Il manque un ou plusieurs verbes dans ta phrase non?

[invite76543456789]

Ok, X est un espace quelconque? J'en doute fortement.

[invitef7cb9c5c]

En effet, X est l'espace des suites (Xn) à valeurs réelles

et si tout simplement de la convergence de X^p_n, j'applique la def d'une suite de cauchy qui donne
lim sup d(X^p_n,X^q_n)=0
et pour qtend vers l'infini, on obtient lim sup d(X^p_n,X_n)=0, estce que c'est la même chose que
lim d(X^p_n,X^q_n)=0 et pourquoi,
Réciproquement si je montre que lim d(X^p_n,X^q_n)=0 implique la convergence de de X^p_n vers de X_n (ce que j'ai du mal à faire) peut être alors la conclusion à propose de la complétude de (X,d) est évidente mais je ne la vois pas?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Je comprends pas ce que tu ecris...
Le probleme pour prouver ta completude c'est de prouver que la suite que tu note existe justement.
A priori tu as juste une suite de suites tel que tende vers 0 quand k tend vers l'infini.
Tu dois trouver une suite qui est la limite des (x_n)^p.
Pour cela tu fixes un n (un indice de la suite) il est alors facile de voir que tend vers 0 quand k tend vers l'infini. Donc la suite de réel est de cauchy et R est complet, donc elle converge, ca te donne un et la suite des est candidate à etre la limite de ta suite de suites , te reste plus qu'a prouver que c'est bien le cas.

[invitef7cb9c5c]

Bonjour,
je crois que j'ai compris, merci pour ton aide
Par ailleurs, je me demandais si la suite x_n= (-n)^-n sur l'espace ( R⁺, d) avec d=l1/X-1/Yl peut-être de cauchy mais non convergente car elle tend vers + infini

[gg0]

Heu ...

x₁ n'est pas dans "l'espace ( R⁺, d) avec d=l1/X-1/Yl", puisqu'il est négatif.
Par contre tu peux prendre x_n=nⁿ, ce qui te donne une suite de Cauchy, qui ne converge pas car n'est pas complet pour cette distance. J'ai bien entendu éliminé 0 pour la distance.

Cordialement.

[invitef7cb9c5c]

merci pour les réponses
ben oui maitenant que tu me le dis sur la question des ouverts et des fermés, j'avais vraiment rien compris, merci de m'avoir éclairer

fifrelette

[invitef7cb9c5c]

encore une question, j'espère qu'elle est pas trop bête
quand je montre que x_n= nⁿ est de cauchy, il suffit de dire que pour p et q assez grand, c'est-à-dire à partir d'un certain rang d( x_p , x_q) < epsilon qui est la longueur d'un intervalle
mais je me demande (c'est là où je vais peut-être vous exaspéré) si dans ce cas la non convergence de x_n doit se montrer simplement à partir du fait que x_n tend vers l'infini, ce qui est évident ou en posant l=limite de la suite donc = infini, je dois dire que d(x_n, l)>espilon c'est-à-dire ne converge pas dans la mesure où il s'agit d'une suite dans un espace métrique (x, d) avec X=]0, +infini[ et d(x,y)=l1/X-1/Yl
j'essaie d'être claire , j'espère que ça se voit un peu.

a tout à l'heure
fifrelette

[gg0]

Tu ne peux pas dire x_n tend vers l'infini, car ça n'a de sens que dans la topologie habituelle de . Dans la topologie de cette distance, la notion de "tend vers l'infini" n'a plus de signification. D'ailleurs deux suites qui augmentent indéfiniment ont une distance de plus en plus petite !
Il te faut donc examiner si l'existence d'une limite a est possible. Il est facile de voir que x_n ne converge pas vers a.

A retenir : Quand on n'utilise plus la topologie habituelle, les habitudes sont à oublier. Seuls guides : Les définitions et théorèmes.

Cordialement.

[invitef7cb9c5c]

c'est bien ce que je carignais, je me mélange les pinceaux entre les habitudes sur R et l'applmication des thèorèmes concernant les espaces métriques, donc
pour qu'une suite converge on doit avoir d(x,y)<a avec un a posé au préalable et x=x_n avec n plus grand qu'un certain rang et y = x_n avec tendnat vers l'infini
mais pour montrer qu'elle est de cauchy ce qui change c'est juste que pour d(x,y)<a avec x=x_p et y=x_q avec p et q plus grand qu'un certain rang
justement je crois que je saisis pourquoi avec x_n=nⁿ, on a bien une suite de cauchy mais je ne vois pas pourquoi elle ne converge pas
voilà c'était ma question
je rame vraiment

[gg0]

Il te faut donc examiner si l'existence d'une limite a est possible. Il est facile de voir que x_n ne converge pas vers a.

Suppose que x_n converge vers a ....
Ou bien montre que d(x_n,a) ne tend pas vers 0, a étant un réel strictement positif.

C'est simple à faire, il faut seulement s'y mettre !

[invitef7cb9c5c]

montere qu'elle est de Cauchy ça me semble simple : pour tout epsilon, il y a un n >N at p>N et q>N , on a bien l1/x_p-1/x_ql<epsilon
ensuite je montre qu'elle est pas convergente en posant sa limite a élément de ]0, +infini[
et pour tout epsilon >0, il existe n entier, pour tout n>N, lim l1/x_n-1/al n'est pas égal à zéro mais à 1/a donc la suite ne converge pas dans l'espace métrique dans lequel on travail
je crois que j'ai compris quelque spetites choses aujourd'hui

A propos de ma question sur un élément s'il est dans un ouvert, il n'est pas dans un fermé j'avais oublié de dire que l'ouvert et le fermé en question sont donnés comme complémentaires.

merci beaucoup pour votre aide

fifrelette

[gg0]

j'avais oublié de dire que l'ouvert et le fermé en question sont donnés comme complémentaires.

Donc ce n'était pas une question de fermé ou d'ouvert, mais d'ensembles n'ayant aucun élément commun !!

Cordialement.