convergence d'une suite

[berradma]

Bonjour à tous,

Je suis étudiant en première année de prépa intégrée et j'aimerais savoir comment étudier la convergence de la suite suivante :

Un = somme(de k=0 jusqu'à n) de(1/(2n+1))
Je vous prie de m'aider

Cordialement.
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux montrer que .

[Kleev]

Bonjour,

Normalement dans ton cours tu a dut voir les théorèmes d'encadrement et j'en passe. Sert-en

[yootenhaiem]

Bonjour,

Normalement en prepas, ta question relève du cours.
Notes de cours: Séries de Riemann /\ Équivalence des séries de terme général positif

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kleev]

Je crois que l'on ne voit Les Séries de Reimann qu'en 2nd .Mais peut être en MPSI, on le voit en 1ere année

[berradma]

Concernant la suite que j'ai trouvé, ce n'est, en fait, que le résultat constituant l'une des étapes de résolution de l'exo qui suit :

Soit, tn, la suite, dite harmonique, donnée par :

tn=1+1/2+1/3+...+1/n ; n supérieur ou égal à 1 .

a) Montrer l'existance de c>0, tq : |t2n - tn| superieure ou égal à c ; pour tout n.

J'ai trouvé alors que : |t2n - tn| = somme,de k=0 jusqu'à n de(1/(2n+1))
Je doute de ce résultat, mais si il était vrai, aurais-je la possibilité de trouver c, en étudiant la convergence de somme,de k=0 jusqu'à n de(1/(2n+1)) ?

[Seirios]

Bonjour,

Effectivement, ton résultat est faux : ; il se trouve que l'on peut minorer brutalement cette expression par .

[berradma]

Désolé,

Je n'arrive pas à retrouver la méthode grâce à laquelle tu as pu trouver que |t2n-tn|=somme, de k=n+1 jusqu'à 2n de(1/k).
Moi, en fait, j'ai fait :

|t2n-tn|=|(1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12+...+1/(2n))-(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+...+1/n)|
=1+1/3+1/5+1/7+1/9+...


Puis là, je n'arrive pas à retrouver le n-ième terme.
Pourrais-tu m'aider s'il te plaît.

Cordialement, merci.

[Tryss]

Normal, t2n n'est pas la somme que tu as écrite

t2n = 1+1/2+1/3+...+1/(2n)

[yootenhaiem]

Bonsoir,

Ah Oue , les séries c'est en Spe qu'on les fait. mais en considérant la fonction t->1/(2t+1).
Elle est décroissante sur IR+, et donc on a ce résultat entre [n,n+1]: 1/2(n+1)+1< intégrale entre n et n+1 de 1/(2t+1) < 1/(2n+1)

C'est ce qu'a dit SEIRIOS mais plus développé.

Cordialement,
M.

[berradma]

Désolé,

Je n'arrive pas à comprendre ta démarche quand tu dis : "entre [n,n+1]: 1/2(n+1)+1< intégrale entre n et n+1 de 1/(2t+1) < 1/(2n+1)".
Qu'est ce qui est "entre [n,n+1]" ?

[gg0]

Rien Berradma.

C'est simplement qu'on intègre entre n et n+1 :
Pour t compris entre n et n+1:

donc

On intègre de n à n+1 :


Cordialement.

NB : ça ne donne pas ce que disait Serios, mais ça marche aussi : on additionne et la somme des intégrales est une seule intégrale.

[berradma]

Je suis d'accord pour : 1/2(n+1)+1< intégrale entre n et n+1 de 1/(2t+1) < 1/(2n+1) , mais je ne vois toujours pas le rapport avec : somme, de k=n+1 jusqu'à 2n de(1/k), autrement dit le |t2n-tn| , qu'on a trouvé précédemment.

[gg0]

Je répondais à ta question; qui elle même n'avait pas de rapport avec Sn= somme, de k=n+1 jusqu'à 2n de(1/k).

Tu peux minorer cette somme en remplaçant chaque terme par le dernier (ce qu'a fait Serios), ou bien utiliser la même idée avec l'intégrale.

Cordialement.

[berradma]

Merci beaucoup à tous,
j'ai réussi a démontrer l'existance du fameux c=1/2 > 0 , j'en ai donc déduit que tn n'est pas de Cauchy, j'ai ensuite vérifié que tn est croissante, mais je n'arrive toujours pas à trouver que tn est non-majorée. j'ai juste trouvé que |t2n-tn| superieur ou égal à 1-1/(n+1).
quelqun pourrait m'aider la-dessus, s'il vous plaît ?

[Seirios]

Tu dois savoir qu'une suite croissante est soit majorée et convergente, soit non majorée. Or tu as montré que la suite n'était pas de Cauchy, et donc qu'elle ne convergeait pas.

[berradma]

Merci beaucoup, donc, la suite n'étant pas de Cauchy, elle ne converge pas, et sachant qu'elle est croissante, elle est donc non-majorée.