Des conditions suffisantes pour qu'une application linéaire soit nulle.

[sknbernoussi]

Bonsoir tout le monde,
étant donnée une application linéaire de E dans F, où E et F désignent deux evn, on veut montrer les deux implications suivantes :
-si , alors f est nulle
-si f est bornée alors f est nulle
Pour la première, on peut dire que pour tout , il existe tel que pour tout vecteur de norme inférieur strictement à on ait . Soit une vecteur x quelconque de E, et soit . Alors si x est différent du vecteur nul, la norme de est donc . En faisant tendre vers 0 , on obtient le résultat.
Pour la deuxième, il existe telque pour tout vecteur x de E . Puisque E est un ev, alors pour tout entier naturel et pour tout , on a ce qui revient à écrire on fait tendre n vers l'infini pour conclure.
Qu'en pensez vous ? Est-ce juste ?
Amicalement.
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[gg0]

Bonjour.

pour la première, j'imagine que c'est "quel que soit x", car sinon, si f n'est pas injective, on peut prendre un élément du noyau.

Il y a des preuves élémentaires en prenant un y quelconque dans E et x=ky. Puis en faisant tendre k vers 0 pour le 1. C'est probablement l'idée de ta preuve, mais je la trouve lourde, alors que c'est ce que tu exploites dans le 2.

Cordialement