Bonsoir tout le monde,
étant donnée une application linéairede E dans F, où E et F désignent deux evn, on veut montrer les deux implications suivantes :
-si, alors f est nulle
-si f est bornée alors f est nulle
Pour la première, on peut dire que pour tout, il existe
tel que pour tout vecteur de norme inférieur strictement à
on ait
. Soit une vecteur x quelconque de E, et soit
. Alors si x est différent du vecteur nul, la norme de
est
donc
. En faisant tendre
vers 0 , on obtient le résultat.
Pour la deuxième, il existetelque pour tout vecteur x de E
. Puisque E est un ev, alors pour tout entier naturel
et pour tout
, on a
ce qui revient à écrire
on fait tendre n vers l'infini pour conclure.
Qu'en pensez vous ? Est-ce juste ?
Amicalement.
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