Convergence d'une suite

[invite33757688]

Bonjour à tous,
Je suis nouveau, j'étudie en premiere année de prépa intégrée dans une école d'ingénieurs et je vous prie de m'aider, au sujet d'une étude de convergence d'une suite. Cette suite se présente comme suit :
U0=5
U1=5.3
U2=5.33
U3=5.333
...
...
Un=5.33333333333...3

avec le chiffre 3, n fois après la virgule.

j'ai trouvé deux suites Un, correspondant, peut être, à la suite que je viens de vous communiquer. J'aimerais savoir si on peut démontrer la convergence de cette suite en étudiant celle de chacune des deux qui suivent :
SIGMAn.pdf
sigmINF.pdf
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[PlaneteF]

Bonjour,

Tes 2 pièces jointes ne sont pas encore validées donc on ne peut pas encore les consulter, ... mais en attendant, ce que l'on peut dire, c'est que, par construction, la suite (U_n) est croissante et majorée, donc elle est convergente.

[invite33757688]

je vais essayer de taper mes suites directement :

en fait, la première, c'est :
Un=U0 + 3 fois [somme, de k=1 juqu'à n, de (10^(-k))]

et la deuxième:
Un=U0 + 3 fois [somme, de n=1 juqu'à +l'infini, de (10^(-n))]

[PlaneteF]

en fait, la première, c'est :
Un=U0 + 3 fois [somme, de k=1 juqu'à n, de (10^(-k))]

Oui, ... et la somme est celle des n premiers termes d'une suite géométrique, donc facile à calculer, et en prenant la limite de cette somme vers +oo, on retrouve bien la bonne limite de la suite.

et la deuxième:
Un=U0 + 3 fois [somme, de n=1 juqu'à +l'infini, de (10^(-n))]

Par contre, çà c'est faux. La façon dont tu écrit cela, (U_n) est une suite constante (la somme est une constante qui ne dépend pas de n, d'ailleurs dans cette somme, n est un indice "muet", tu pourrais tout aussi bien mettre k ou autre chose) !

... donc rien à voir avec la suite d'origine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33757688]

Ce qui est bizarre c'est que pour : Un=U0 + 3 fois [somme, de k=1 juqu'à n, de (10^(-k))] (la suite juste), on a:
lim[somme, de k=1 juqu'à n, de (10^(-k))]=lim([1-(1/10)^(n+1)]/[1-(1/10)])
=1/[1-(1/10)]
=1/(9/10)
=10/9


donc : lim Un=U0+3 fois (10/9)
=5+3 fois (10/9)
=8.3333333333333...3

bizarre

[gg0]

Le premier terme de la suite n'est pas 1, mais 1/10, qui doit multiplier le 10/9 (voir la formule). On retombe bien sur 5+1/3.

Cordialement.

[PlaneteF]

=lim([1-(1/10)^(n+1)]/[1-(1/10)])

Tu fais 2 erreurs en appliquant la formule de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique :

1) La somme va de 1 à n, il y a donc n termes dans cette somme, et donc au numérateur on trouve (1/10)ⁿ et non pas (1/10)ⁿ⁺¹. Cette erreur n'a pas d'incidence sur le résultat de la limite.

2) Tu oublies dans la formule de la somme le 1^er terme de la suite.


Rappel : S = 1^er terme x (1-raison^{nb termes})/(1-raison)

[invite33757688]

Merci beaucoup, je dois revoir mes sources, on m'a communiqué une fausse formule, et comme j'ai eu mon bac en 2010, il est vrai que je me suis un peu perdu...

Mes respetcs, cordialement

[PlaneteF]

Merci beaucoup, je dois revoir mes sources, on m'a communiqué une fausse formule (...)

Wikipedia lui est très fiable http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_g...om%C3%A9trique

[invite33757688]

Merci beaucoup